Калькулятор онлайн.
Решение треугольников.

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.

Эта математическая программа находит сторону \(c \), углы \(\alpha \) и \(\beta \) по заданным пользователем сторонам \(a, b \) и углу между ними \(\gamma \)

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел

Числа можно задать не только целые, но и дробные.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5

Введите стороны \(a, b \) и угол между ними \(\gamma \) Решить треугольник

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудьте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Теорема синусов

Теорема

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$

Теорема косинусов

Теорема
Пусть в треугольнике ABC AB = c, ВС = а, СА = b. Тогда
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Решение треугольников

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник.

Рассмотрим три задачи на решение треугольника. При этом будем пользоваться такими обозначениями для сторон треугольника ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Дано: \(a, b, \angle C \). Найти \(c, \angle A, \angle B \)

Решение
1. По теореме косинусов находим \(c\):

$$ c = \sqrt{ a^2+b^2-2ab \cos C } $$ 2. Пользуясь теоремой косинусов, имеем:
$$ \cos A = \frac{ b^2+c^2-a^2 }{2bc} $$

3. \(\angle B = 180^\circ -\angle A -\angle C \)

Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

Дано: \(a, \angle B, \angle C \). Найти \(\angle A, b, c \)

Решение
1. \(\angle A = 180^\circ -\angle B -\angle C \)

2. С помощью теоремы синусов вычисляем b и c:
$$ b = a \frac{\sin B}{\sin A}, \quad c = a \frac{\sin C}{\sin A} $$

Решение треугольника по трём сторонам

Дано: \(a, b, c \). Найти \(\angle A, \angle B, \angle C \)

Решение
1. По теореме косинусов получаем:
$$ \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$

По \(\cos A \) находим \(\angle A \) с помощью микрокалькулятора или по таблице.

2. Аналогично находим угол B.
3. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

Решение треугольника по двум сторонам и углу напротив известной стороны

Дано: \(a, b, \angle A \). Найти \(c, \angle B, \angle C \)

Решение
1. По теореме синусов находим \(\sin B \) получаем:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{b}{a} \cdot \sin A $$

Введём обозначение: \(D = \frac{b}{a} \cdot \sin A \). В зависимости от числа D возможны случаи:
Если D > 1, такого треугольника не существует, т.к. \(\sin B \) больше 1 быть не может
Если D = 1, существует единственный \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Если D Если D 2. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

3. С помощью теоремы синусов вычисляем сторону c:
$$ c = a \frac{\sin C}{\sin A} $$

Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач

Введите известные даные треугольника

Сторона а

Сторона b

Сторона c

Угол А в градусах

Угол B в градусах

Угол C в градусах

Медиана на сторону а

Медиана на сторону b

Медиана на сторону c

Высота на сторону a

Высота на сторону b

Высота на сторону c

Координаты вершины А

X Y

Координаты вершины B

X Y

Координаты вершины C

X Y

Площадь треугольника S

Полупериметр сторон треугольника p

Представляем Вам калькулятор, который позволял рассчитывать все возможные .

Хотелось бы обратить Ваше внимание именно на то, что это универсальный бот. Он рассчитывает все параметры произвольного треугольника, при произвольно заданных параметрах. Такого бота вы не найдете нигде.

Вам известна сторона и две высоты? или две стороны и медиана? Или биссектриса два угла и основание треугольника?

По любым запросам, мы можем получить правильный расчет параметров треугольника.

Вам нет необходимости искать формулы и делать расчет самостоятельно. За вас уже все сделано.

Создайте запрос и получите точный ответ.

Показан произвольный треугольник. Сразу оговоримся как и что обозначается, дабы в дальнейшем не было путаницы и ошибок в расчетах.

Стороны противоположные любому углу называются так же только маленькой буквой . То есть напротив угла А лежит сторона треугольника а, стороне с противостоит угол С.

ma - это медина, падающая на сторону а, соответственно есть еще медианы mb и mc падающие на соответствующие стороны.

lb - это биссектриса, падающая на сторону b, соответственно есть еще биссектрисы la и lc падающие на соответствующие стороны.

hb - это высота, падающая на сторону b, соответственно есть еще высоты ha и hc падающие на соответствующие стороны.

Ну и второе, помните что треугольником является фигура в которой присутствует фундаментальное правило:

Сумма любых(!) двух сторон должна быть больше третьей .

Поэтому не удивляйтесь если получите ошибку При таких данных треугольника не существует при попытке рассчитатать параметры треугольника со сторонами 3, 3 и 7.

Синтаксис

Для позволяателей XMPP клиентов запрос вот такой treug <список параметров>

Для пользователй сайта, все сделано на этой странице.

Список параметров - параметры которые известны, разделенные точкой с запятой

параметр записываетя как параметр=значение

Например если известна сторона а с значением 10, то так и записываем a=10

Более того, значения могут быть не только в виде вещественного числа, но и например как результат какого то выражения

А вот и сам список парметров которые могут фигурировать в расчетах.

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Полупериметр p

Угол А

Угол B

Угол C

Площадь треугольника S

Высота ha на сторону a

Высота hb на сторону b

Высота hc на сторону c

Медиана ma на сторону a

Медиана mb на сторону b

Медиана mc на сторону c

Координаты вершин (xa,ya) (xb,yb) (xc,yc)

Примеры

пишем treug a=8;C=70;ha=2

Параметры треугольника по заданным параметрам

Сторона a = 8

Сторона b = 2.1283555449519

Сторона c = 7.5420719851515

Полупериметр p = 8.8352137650517

Угол А = 2.1882518638666 в градусах 125.37759631119

Угол B = 2.873202966917 в градусах 164.62240368881

Угол C = 1.221730476396 в градусах 70

Площадь треугольника S = 8

Высота ha на сторону a = 2

Высота hb на сторону b = 7.5175409662872

Высота hc на сторону c = 2.1214329472723

Медиана ma на сторону a = 3.8348889915443

Медиана mb на сторону b = 7.7012304590352

Медиана mc на сторону c = 4.4770789813853

Вот и все, все параметры треугольника.

Вопрос, почему мы сторону назвали а , а не в или с ? Это не влияет на решение. Главное выдержать условие о котором я уже сказал "Стороны противоположные любому углу называются так же, только маленькой буквой ." А далее нарисовать в уме треугольник, и применить к заданному вопросу.

Можно было бы взять вместо а в , но тогда прилежащий угол будет не С а А ну и высота будет hb . Результат если вы проверите, будет один и тот же.

Например вот такими (xa,ya) =3,4 (xb,yb) =-6,14 (xc,yc)=-6,-3

пишем запрос treug xa=3;ya=4;xb=-6;yb=14;xc=-6;yc=-3

и получаем

Параметры треугольника по заданным параметрам

Сторона a = 17

Сторона b = 11.401754250991

Сторона c = 13.453624047073

Полупериметр p = 20.927689149032

Угол А = 1.4990243938603 в градусах 85.887771155351

Угол B = 0.73281510178655 в градусах 41.987212495819

Угол C = 0.90975315794426 в градусах 52.125016348905

Площадь треугольника S = 76.5

Высота ha на сторону a = 9

Высота hb на сторону b = 13.418987695398

Высота hc на сторону c = 11.372400437582

Медиана ma на сторону a = 9.1241437954466

Медиана mb на сторону b = 14.230249470757

Медиана mc на сторону c = 12.816005617976

Удачных расчетов!!

Прямоугольный треугольник встречается в реальности практически на каждом углу. Знание о свойствах данной фигуры, а также умение вычислять ее площадь, несомненно пригодится вам не только для решения задач по геометрии, но и в жизненных ситуациях.

Геометрия треугольника

В элементарной геометрии прямоугольный треугольник - это фигура, которая состоит из трех соединенных отрезков, формирующих три угла (два острых и один прямой). Прямоугольный треугольник - оригинальная фигура, характеризующаяся рядом важных свойств, которые составляют фундамент тригонометрии. В отличие от обычного треугольника стороны прямоугольной фигуры имеют собственные названия:

• Гипотенуза - самая длинная сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла.
• Катеты - отрезки, образующие прямой угол. В зависимости от рассматриваемого угла катет может быть прилежащим к нему (образующий этот угол с гипотенузой) или противолежащим (лежащим напротив угла). Для непрямоугольных треугольников катетов не существуют.

Именно соотношение катетов и гипотенузы составляет основу тригонометрии: синусы, тангенсы и секансы определяются как отношение сторон прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник в реальности

Данная фигура получила широкое распространение в реальности. Треугольники находят применение в проектировании и технике, поэтому расчет площади фигуры приходится выполнять инженерам, архитекторам и проектировщикам. Форму треугольника имеют основания тетраэдров или призм - трехмерных фигур, которые легко встретить в повседневности. Кроме того, угольник - наиболее простое представление «плоского» прямоугольного треугольника в реальности. Угольник - это слесарный, чертежный, строительный и столярный инструмент, который используется для построения углов как школьниками, так и инженерами.

Площадь треугольника

Площадь геометрической фигуры - это количественная оценка того, какая часть плоскости ограничена сторонами треугольника. Площадь обычного треугольника можно найти пятью способами, используя формулу Герона или оперируя при расчетах такими переменными, как основание, сторона, угол и радиус вписанной или описанной окружности. Самая простая формула площади выражается как:

где a – сторона треугольника, h – его высота.

Формула для вычисления площади прямоугольного треугольника еще проще:

где a и b – катеты.

Работая с нашим онлайн-калькулятор, вы можете вычислить площадь треугольника, используя три пары параметров:

• два катета;
• катет и прилежащий угол;
• катет и противолежащий угол.

В задачах или бытовых ситуациях вам будут даны разные комбинации переменных, поэтому такая форма калькулятора позволяет вычислить площадь треугольника несколькими способами. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Керамическая плитка

Допустим, вы хотите выполнить облицовку стен кухни керамической плиткой, которая имеет форму прямоугольного треугольника. Для того чтобы определить расход плитки вы должны узнать площадь одного элемента облицовки и общую площадь обрабатываемой поверхности. Пусть вам необходимо обработать 7 квадратных метров. Длина катетов одного элемента составляет по 19 см, тогда площадь плитки будет равна:

Это означает, что площадь одного элемента составляет 24,5 квадратных сантиметра или 0,01805 квадратных метра. Зная эти параметры, вы можете подсчитать, что для отделки 7 квадратных метров стены вам понадобится 7/0,01805 = 387 элементов облицовочной плитки.

Школьная задача

Пусть в школьной задаче по геометрии требуется найти площадь прямоугольного треугольника, зная только то, что сторона одного катета равна 5 см, а величина противолежащего угла составляет 30 градусов. Наш онлайн-калькулятор сопровождается иллюстрацией, на которой указаны стороны и углы прямоугольного треугольника. Если сторона a = 5 см, то ее противолежащий угол - это угол альфа, равный 30 градусов. Введите эти данные в форму калькулятора и получите результат:

Таким образом, калькулятор не только вычисляет площадь заданного треугольника, но и определяет длину прилежащего катета и гипотенузы, а также величину второго угла.

Заключение

Прямоугольные треугольники встречаются в нашей жизни буквально на каждом углу. Определение площади таких фигур пригодится вам не только при решении школьных заданий по геометрии, но и повседневной и профессиональной деятельности.

Определение треугольника

Треугольник - это геометрическая фигура, которая образуется в результате пересечения трех отрезков, концы которых не лежат на одной прямой. У любого треугольника есть три стороны, три вершины и три угла.

Онлайн-калькулятор

Треугольники бывают различных видов. Например, существует равносторонний треугольник (тот, у которого все стороны равны), равнобедренный (в нем равны две стороны) и прямоугольный (в котором один из углов прямой, т. е. равен 90 градусам).

Площадь треугольника можно найти различными способами в зависимости от того, какие элементы фигуры известны по условию задачи, будь то углы, длины, либо же вообще радиусы окружностей, связанных с треугольником. Рассмотрим каждый способ отдельно с примерами.

Формула площади треугольника по основанию и высоте

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac{1}{2}\cdot a\cdot h S = 2 1 ​ ⋅ a ⋅ h ,

A a a - основание треугольника;
h h h - высота треугольника, проведенная к данному основанию a.

Пример

Найти площадь треугольника, если известна длина его основания, равная 10 (см.) и высота, проведенная к этому основанию, равная 5 (см.).

Решение

A = 10 a=10 a = 1 0
h = 5 h=5 h = 5

Подставляем в формулу для площади и получаем:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac{1}{2}\cdot10\cdot 5=25 S = 2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (см. кв.)

Ответ: 25 (см. кв.)

Формула площади треугольника по длинам всех сторон

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt{p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)} S = p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c ) ​ ,

A , b , c a, b, c a , b , c - длины сторон треугольника;
p p p - половина суммы всех сторон треугольника (то есть, половина периметра треугольника):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac{1}{2}(a+b+c) p = 2 1 ​ (a + b + c )

Эта формула называется формулой Герона .

Пример

Найти площадь треугольника, если известны длины трех его сторон, равные 3 (см.), 4 (см.), 5 (см.).

Решение

A = 3 a=3 a = 3
b = 4 b=4 b = 4
c = 5 c=5 c = 5

Найдем половину периметра p p p :

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac{1}{2}(3+4+5)=\frac{1}{2}\cdot 12=6 p = 2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Тогда, по формуле Герона, площадь треугольника:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt{6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6-5)}=\sqrt{36}=6 S = 6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (см. кв.)

Ответ: 6 (см. кв.)

Формула площади треугольника по одной стороне и двум углам

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac{a^2}{2}\cdot \frac{\sin{\beta}\sin{\gamma}}{\sin(\beta+\gamma)} S = 2 a 2 ​ ⋅ sin (β + γ ) sin β sin γ ​ ,

A a a - длина стороны треугольника;
β , γ \beta, \gamma β , γ - углы, прилежащие к стороне a a a .

Пример

Дано сторону треугольника, равную 10 (см.) и два прилежащих к ней угла по 30 градусов. Найти площадь треугольника.

Решение

A = 10 a=10 a = 1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^{\circ} β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^{\circ} γ = 3 0 ∘

По формуле:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac{10^2}{2}\cdot \frac{\sin{30^{\circ}}\sin{30^{\circ}}}{\sin(30^{\circ}+30^{\circ})}=50\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}\approx14.4 S = 2 1 0 2 ​ ⋅ sin (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) sin 3 0 ∘ sin 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (см. кв.)

Ответ: 14.4 (см. кв.)

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R} S = 4 R a ⋅ b ⋅ c ​ ,

A , b , c a, b, c a , b , c - стороны треугольника;
R R R - радиус описанной окружности вокруг треугольника.

Пример

Числа возьмем из второй нашей задачи и добавим к ним радиус R R R окружности. Пусть он будет равен 10 (см.).

Решение

A = 3 a=3 a = 3
b = 4 b=4 b = 4
c = 5 c=5 c = 5
R = 10 R=10 R = 1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1.5 S=\frac{3\cdot 4\cdot 5}{4\cdot 10}=\frac{60}{40}=1.5 S = 4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (см. кв.)

Ответ: 1.5 (см.кв.)

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

S = p ⋅ r S=p\cdot r S = p ⋅ r ,

p p p - половина периметра треугольника:

p = a + b + c 2 p=\frac{a+b+c}{2} p = 2 a + b + c ​ ,

a , b , c a, b, c a , b , c - стороны треугольника;
r r r - радиус вписанной в треугольник окружности.

Пример

Пусть радиус вписанной окружности равен 2 (см.). Длины сторон возьмем из предыдущей задачи.

Решение

$a=3b\; =\; 4\; b=4b=4c\; =\; 5\; c=5c=5r\; =\; 2\; r=2r=2$

$p=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12 S = 6 ⋅ 2 = 1 2 (см. кв.)

Ответ: 12 (см. кв.)

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha) S = 2 1 ​ ⋅ b ⋅ c ⋅ sin (α ) ,

b , c b, c b , c - стороны треугольника;

α \alpha α - угол между сторонами b b b и c c c .

Пример

Стороны треугольника равны 5 (см.) и 6 (см.), угол между ними равен 30 градусов. Найти площадь треугольника.

Решение

$b=5c\; =\; 6\; c=6c=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^\{\backslash circ\}\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7.5 S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^{\circ})=7.5 S = 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin (3 0 ∘ ) = 7 . 5 (см. кв.)

Ответ: 7.5 (см. кв.)

Прямоугольным называется треугольник, один из углов которого равен 90º. Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, а две другие – катетами.

Чтобы найти угол в прямоугольном треугольнике, используются некоторые свойства прямоугольных треугольников, а именно: то, что сумма острых углов равна 90º, а также то, что напротив катета, длина которого в два раза меньше гипотенузы, лежит угол, равный 30º.

Быстрая навигация по статье

Равнобедренный треугольник

Одно из свойств равнобедренного треугольника — два его угла равны. Для вычисление значений углов прямоугольного равнобедренного треугольника нужно знать, что:

• Прямой угол равен 90º.
• Значения острых углов определяются по формуле: (180º-90º)/2=45º, т.е. углы α и β равны 45º.

Если известна величина одного из острых углов, второй можно найти по формуле: β=180º-90º-α, или α=180º-90º-β. Чаще всего это соотношение используется, если один из углов равен 60º или 30º.

Ключевые понятия

Сумма внутренних углов треугольника равна 180º. Так как один угол прямой, два оставшихся будут острыми. Для их нахождения необходимо знать, что:

Другие способы

Величины острых углов прямоугольного треугольника можно вычислить, зная значение медианы – линии, проведенной из вершины к противоположной стороне треугольника, и высоты – прямой, представляющей собой перпендикуляр, опущенный из прямого угла на гипотенузу. Пусть s – медиана, проведенная из прямого угла к середине гипотенузы, h — высота. В таком случае получается, что:

• sin α=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
• cos α=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
• sin α=h/b; sin β =h/a.

Две стороны

Если в прямоугольном треугольнике известны длины гипотенузы и одного из катетов, либо две стороны, для нахождения значений острых углов используются тригонометрические тождества:

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).