Чему равно математическое ожидание случайной величины. Вероятность и статистика – основные факты
2. Основы теории вероятностей
Математическое ожидание
Рассмотрим случайную величину с числовыми значениями. Часто оказывается полезным связать с этой функцией число – ее «среднее значение» или, как говорят, «среднюю величину», «показатель центральной тенденции». По ряду причин, некоторые из которых будут ясны из дальнейшего, в качестве «среднего значения» обычно используют математическое ожидание.
Определение 3. Математическим ожиданием случайной величины Х называется число
т.е. математическое ожидание случайной величины – это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям соответствующих элементарных событий.
Пример 6. Вычислим математическое ожидание числа, выпавшего на верхней грани игрального кубика. Непосредственно из определения 3 следует, что
Утверждение 2. Пусть случайная величина Х принимает значения х 1 , х 2 ,…, х m . Тогда справедливо равенство
(5)
т.е. математическое ожидание случайной величины – это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям того, что случайная величина принимает определенные значения.
В отличие от (4), где суммирование проводится непосредственно по элементарным событиям, случайное событие может состоять из нескольких элементарных событий.
Иногда соотношение (5) принимают как определение математического ожидания. Однако с помощью определения 3, как показано далее, более легко установить свойства математического ожидания, нужные для построения вероятностных моделей реальных явлений, чем с помощью соотношения (5).
Для доказательства соотношения (5) сгруппируем в (4) члены с одинаковыми значениями случайной величины :
Поскольку постоянный множитель можно вынести за знак суммы, то
По определению вероятности события
С помощью двух последних соотношений получаем требуемое:
Понятие математического ожидания в вероятностно-статистической теории соответствует понятию центра тяжести в механике. Поместим в точки х 1 , х 2 ,…, х m на числовой оси массы P (X = x 1 ), P (X = x 2 ),…, P (X = x m ) соответственно. Тогда равенство (5) показывает, что центр тяжести этой системы материальных точек совпадает с математическим ожиданием, что показывает естественность определения 3.
Утверждение 3. Пусть Х – случайная величина, М(Х) – ее математическое ожидание, а – некоторое число. Тогда
1) М(а)=а; 2) М(Х-М(Х))=0; 3) М[(X - a ) 2 ]= M [(X - M (X )) 2 ]+(a - M (X )) 2 .
Для доказательства рассмотрим сначала случайную величину, являющуюся постоянной, т.е. функция отображает пространство элементарных событий в единственную точку а . Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то
Если каждый член суммы разбивается на два слагаемых, то и вся сумма разбивается на две суммы, из которых первая составлена из первых слагаемых, а вторая – из вторых. Следовательно, математическое ожидание суммы двух случайных величин Х+У , определенных на одном и том же пространстве элементарных событий, равно сумме математических ожиданий М(Х) и М(У) этих случайных величин:
М(Х+У) = М(Х) + М(У).
А потому М(Х-М(Х)) = М(Х) - М(М(Х)). Как показано выше, М(М(Х)) = М(Х). Следовательно, М(Х-М(Х)) = М(Х) - М(Х) = 0.
Поскольку (Х - а) 2 = {(X – M (X )) + (M (X ) - a )} 2 = (X - M (X )) 2 + 2(X - M (X ))(M (X ) - a ) + (M (X ) – a ) 2 , то M [(Х - а) 2 ] = M (X - M (X )) 2 + M {2(X - M (X ))(M (X ) - a )} + M [(M (X ) – a ) 2 ]. Упростим последнее равенство. Как показано в начале доказательства утверждения 3, математическое ожидание константы – сама эта константа, а потому M [(M (X ) – a ) 2 ] = (M (X ) – a ) 2 . Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то M {2(X - M (X ))(M (X ) - a )} = 2(M (X ) - a )М(X - M (X )). Правая часть последнего равенства равна 0, поскольку, как показано выше, М(Х-М(Х))=0. Следовательно, М[(X - a ) 2 ]= M [(X - M (X )) 2 ]+(a - M (X )) 2 , что и требовалось доказать.
Из сказанного вытекает, что М[(X - a ) 2 ] достигает минимума по а , равного M [(X - M (X )) 2 ], при а = М(Х), поскольку второе слагаемое в равенстве 3) всегда неотрицательно и равно 0 только при указанном значении а .
Утверждение 4. Пусть случайная величина Х принимает значения х 1 , х 2 ,…, х m , а f – некоторая функция числового аргумента. Тогда
Для доказательства сгруппируем в правой части равенства (4), определяющего математическое ожидание, члены с одинаковыми значениями :
Пользуясь тем, что постоянный множитель можно выносить за знак суммы, и определением вероятности случайного события (2), получаем
что и требовалось доказать.
Утверждение 5. Пусть Х и У – случайные величины, определенные на одном и том же пространстве элементарных событий, а и b – некоторые числа. Тогда M (aX + bY )= aM (X )+ bM (Y ).
С помощью определения математического ожидания и свойств символа суммирования получаем цепочку равенств:
Требуемое доказано.
Выше показано, как зависит математическое ожидание от перехода к другому началу отсчета и к другой единице измерения (переход Y =aX +b ), а также к функциям от случайных величин. Полученные результаты постоянно используются в технико-экономическом анализе, при оценке финансово-хозяйственной деятельности предприятия, при переходе от одной валюты к другой во внешнеэкономических расчетах, в нормативно-технической документации и др. Рассматриваемые результаты позволяют применять одни и те же расчетные формулы при различных параметрах масштаба и сдвига.
| Предыдущая |
Теория вероятности - особый раздел математики, который изучают только студенты высших учебных заведений. Вы любите расчёты и формулы? Вас не пугают перспективы знакомства с нормальным распределением, энтропией ансамбля, математическим ожиданием и дисперсией дискретной случайной величины? Тогда этот предмет вам будет очень интересен. Давайте познакомимся с несколькими важнейшими базовыми понятиями этого раздела науки.
Вспомним основы
Даже если вы помните самые простые понятия теории вероятности, не пренебрегайте первыми абзацами статьи. Дело в том, что без четкого понимания основ вы не сможете работать с формулами, рассматриваемыми далее.
Итак, происходит некоторое случайное событие, некий эксперимент. В результате производимых действий мы можем получить несколько исходов - одни из них встречаются чаще, другие - реже. Вероятность события - это отношение количества реально полученных исходов одного типа к общему числу возможных. Только зная классическое определение данного понятия, вы сможете приступить к изучению математического ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин.
Среднее арифметическое
Ещё в школе на уроках математики вы начинали работать со средним арифметическим. Это понятие широко используется в теории вероятности, и потому его нельзя обойти стороной. Главным для нас на данный момент является то, что мы столкнемся с ним в формулах математического ожидания и дисперсии случайной величины.
Мы имеем последовательность чисел и хотим найти среднее арифметическое. Всё, что от нас требуется - просуммировать всё имеющееся и разделить на количество элементов в последовательности. Пусть мы имеем числа от 1 до 9. Сумма элементов будет равна 45, и это значение мы разделим на 9. Ответ: - 5.
Дисперсия
Говоря научным языком, дисперсия - это средний квадрат отклонений полученных значений признака от среднего арифметического. Обозначается одна заглавной латинской буквой D. Что нужно, чтобы её рассчитать? Для каждого элемента последовательности посчитаем разность между имеющимся числом и средним арифметическим и возведем в квадрат. Значений получится ровно столько, сколько может быть исходов у рассматриваемого нами события. Далее мы суммируем всё полученное и делим на количество элементов в последовательности. Если у нас возможны пять исходов, то делим на пять.
У дисперсии есть и свойства, которые нужно запомнить, чтобы применять при решении задач. Например, при увеличении случайной величины в X раз, дисперсия увеличивается в X в квадрате раз (т. е. X*X). Она никогда не бывает меньше нуля и не зависит от сдвига значений на равное значение в большую или меньшую сторону. Кроме того, для независимых испытаний дисперсия суммы равна сумме дисперсий.
Теперь нам обязательно нужно рассмотреть примеры дисперсии дискретной случайной величины и математического ожидания.
Предположим, что мы провели 21 эксперимент и получили 7 различных исходов. Каждый из них мы наблюдали, соответственно, 1,2,2,3,4,4 и 5 раз. Чему будет равна дисперсия?
Сначала посчитаем среднее арифметическое: сумма элементов, разумеется, равна 21. Делим её на 7, получая 3. Теперь из каждого числа исходной последовательности вычтем 3, каждое значение возведем в квадрат, а результаты сложим вместе. Получится 12. Теперь нам остается разделить число на количество элементов, и, казалось бы, всё. Но есть загвоздка! Давайте её обсудим.
Зависимость от количества экспериментов
Оказывается, при расчёте дисперсии в знаменателе может стоять одно из двух чисел: либо N, либо N-1. Здесь N - это число проведенных экспериментов или число элементов в последовательности (что, по сути, одно и то же). От чего это зависит?
Если количество испытаний измеряется сотнями, то мы должны ставить в знаменатель N. Если единицами, то N-1. Границу ученые решили провести достаточно символически: на сегодняшний день она проходит по цифре 30. Если экспериментов мы провели менее 30, то делить сумму будем на N-1, а если более - то на N.
Задача
Давайте вернемся к нашему примеру решения задачи на дисперсию и математическое ожидание. Мы получили промежуточное число 12, которое нужно было разделить на N или N-1. Поскольку экспериментов мы провели 21, что меньше 30, выберем второй вариант. Итак, ответ: дисперсия равна 12 / 2 = 2.
Математическое ожидание
Перейдем ко второму понятию, которое мы обязательно должны рассмотреть данной статье. Математическое ожидание - это результат сложения всех возможных исходов, помноженных на соответствующие вероятности. Важно понимать, что полученное значение, как и результат расчёта дисперсии, получается всего один раз для целой задачи, сколько бы исходов в ней не рассматривалось.
Формула математического ожидания достаточно проста: берем исход, умножаем на его вероятность, прибавляем то же самое для второго, третьего результата и т. д. Всё, связанное с этим понятием, рассчитывается несложно. Например, сумма матожиданий равна матожиданию суммы. Для произведения актуально то же самое. Такие простые операции позволяет с собой выполнять далеко не каждая величина в теории вероятности. Давайте возьмем задачу и посчитаем значение сразу двух изученных нами понятий. Кроме того, мы отвлекались на теорию - пришло время попрактиковаться.
Ещё один пример
Мы провели 50 испытаний и получили 10 видов исходов - цифры от 0 до 9 - появляющихся в различном процентном отношении. Это, соответственно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Напомним, что для получения вероятностей требуется разделить значения в процентах на 100. Таким образом, получим 0,02; 0,1 и т.д. Представим для дисперсии случайной величины и математического ожидания пример решения задачи.
Среднее арифметическое рассчитаем по формуле, которую помним с младшей школы: 50/10 = 5.
Теперь переведем вероятности в количество исходов «в штуках», чтобы было удобнее считать. Получим 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 и 9. Из каждого полученного значения вычтем среднее арифметическое, после чего каждый из полученных результатов возведем в квадрат. Посмотрите, как это сделать, на примере первого элемента: 1 - 5 = (-4). Далее: (-4) * (-4) = 16. Для остальных значений проделайте эти операции самостоятельно. Если вы всё сделали правильно, то после сложения всех вы получите 90.
Продолжим расчёт дисперсии и математического ожидания, разделив 90 на N. Почему мы выбираем N, а не N-1? Правильно, потому что количество проведенных экспериментов превышает 30. Итак: 90/10 = 9. Дисперсию мы получили. Если у вас вышло другое число, не отчаивайтесь. Скорее всего, вы допустили банальную ошибку при расчётах. Перепроверьте написанное, и наверняка всё встанет на свои места.
Наконец, вспомним формулу математического ожидания. Не будем приводить всех расчётов, напишем лишь ответ, с которым вы сможете свериться, закончив все требуемые процедуры. Матожидание будет равно 5,48. Напомним лишь, как осуществлять операции, на примере первых элементов: 0*0,02 + 1*0,1… и так далее. Как видите, мы просто умножаем значение исхода на его вероятность.
Отклонение
Ещё одно понятие, тесно связанное с дисперсией и математическим ожиданием - среднее квадратичное отклонение. Обозначается оно либо латинскими буквами sd, либо греческой строчной «сигмой». Данное понятие показывает, насколько в среднем отклоняются значения от центрального признака. Чтобы найти её значение, требуется рассчитать квадратный корень из дисперсии.
Если вы построите график нормального распределения и захотите увидеть непосредственно на нём квадратичного отклонения, это можно сделать в несколько этапов. Возьмите половину изображения слева или справа от моды (центрального значения), проведите перпендикуляр к горизонтальной оси так, чтобы площади получившихся фигур были равны. Величина отрезка между серединой распределения и получившейся проекцией на горизонтальную ось и будет представлять собой среднее квадратичное отклонение.
Программное обеспечение
Как видно из описаний формул и представленных примеров, расчеты дисперсии и математического ожидания - не самая простая процедура с арифметической точки зрения. Чтобы не тратить время, имеет смысл воспользоваться программой, используемой в высших учебных заведениях - она называется «R». В ней есть функции, позволяющие рассчитывать значения для многих понятий из статистики и теории вероятности.
Например, вы задаете вектор значений. Делается это следующим образом: vector <-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
В заключение
Дисперсия и математическое ожидание - это без которых сложно в дальнейшем что-либо рассчитать. В основном курсе лекций в вузах они рассматриваются уже в первые месяцы изучения предмета. Именно из-за непонимания этих простейших понятий и неумения их рассчитать многие студенты сразу начинают отставать по программе и позже получают плохие отметки по результатам сессии, что лишает их стипендии.
Потренируйтесь хотя бы одну неделю по полчаса в день, решая задания, схожие с представленными в данной статье. Тогда на любой контрольной по теории вероятности вы справитесь с примерами без посторонних подсказок и шпаргалок.
Как уже известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины .
К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.
Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Если случайная величина характеризуется конечным рядом распределения:
| Х | х 1 | х 2 | х 3 | … | х п |
| Р | р 1 | р 2 | р 3 | … | р п |
то математическое ожидание М(Х) определяется по формуле:
Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется равенством:
где – плотность вероятности случайной величины Х .
Пример 4.7. Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.
Решение:
Случайная величина Х принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6. Составим закон ее распределения:
| Х | ||||||
| Р |
Тогда математическое ожидание равно:
Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
М (С) = С.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М (СХ) = СМ (X).
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M(XY) = M(X)M(Y).
Пример 4.8 . Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:
| Х | Y | ||||||
| Р | 0,6 | 0,1 | 0,3 | Р | 0,8 | 0,2 |
Найти математическое ожидание случайной величины XY.
Решение .
Найдем математические ожидания каждой из данных величин:
Случайные величины X и Y независимые, поэтому искомое математическое ожидание:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
М (X + Y) = М (X) + М (Y).
Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Пример 4.9. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р 1 = 0,4; p 2 = 0,3 и р 3 = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.
Решение.
Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина Х 1 , которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью р 1 = 0,4 и 0 (промах) с вероятностью q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания:
Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах:
М(Х 2) = 0,3 и М(Х 3)= 0,6.
Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:
Х = Х 1 + Х 2 + Х 3 .
Искомое математическое ожидание Х находим по теореме о математическом, ожидании суммы.
Наиболее полной характеристикой случайной величины является ее закон распределения. Однако он не всегда известен и в этих случаях приходится довольствоваться меньшими сведениями. К таким сведениям могут относиться: диапазон изменения случайной величины, наибольшее (наименьшее) ее значение, некоторые другие характеристики, которые описывают случайную величину некоторым суммарным способом. Все эти величины называют числовыми характеристиками случайной величины. Обычно это некоторые неслучайные числа, так или иначе характеризующие случайную величину. Основное назначение числовых характеристик – в сжатой форме выразить наиболее существенные особенности того или иного распределения.
Простейшей числовой характеристикой случайной величины Х называется ее математическое ожидание :
М(Х)=х 1 р 1 +х 2 р 2 +…+x n p n . (1.3.1)
Здесь х 1 , х 2 , …, х n – возможные значения случайной величины Х , а р 1 , р 2 , …, р n – их вероятности.
Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины, если известен ее закон распределения:
Решение . М(Х)=2×0,3+3×0,1+5×0,6=3,9 .
Пример 2 . Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если вероятность этого события равна р .
Решение . Если Х – число появлений события А в одном испытании, то, очевидно, закон распределения Х имеет вид:
Тогда М(Х)=0×(1–р)+1×р=р .
Итак: математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно его вероятности.
Вероятностный смысл математического ожидания
Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина Х приняла m 1 раз значение х 1 , m 2 раз значение х 2 , …, m k раз значение х k . Тогда сумма всех значений в n испытаниях равна:
х 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k .
Найдем среднее арифметическое всех значений, принятых случайной величиной:
Значения – относительные частоты появления значений х i (i=1, …, k) . Если n достаточно велико (n®¥) , то эти частоты приблизительно равны вероятностям: . Но тогда
=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x k p k =M(X).
Таким образом, математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. В этом состоит вероятностный смысл математического ожидания.
Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной.
М(С)=С×1=С .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания
М(СХ)=С×М(Х) .
Доказательство . Пусть закон распределения Х задан таблицей:
Тогда случайная величина СХ принимает значения Сх 1 , Сх 2 , …, Сх n с теми же вероятностями , т.е. закон распределения СХ имеет вид:
М(СХ)=Сх 1 ×р 1 +Сх 2 ×р 2 +…+Сх n ×p n =
=С(х 1 р 1 +х 2 р 2 +…+х n p n)=СМ(Х).
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
М(XY)=M(X)×M(Y) .
Это утверждение дается без доказательства (доказательство основано на определении математического ожидания).
Следствие . Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
В частности, для трех независимых случайных величин
М(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z) .
Пример . Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.
Решение . Пусть Х i – число очков на i -й кости. Это могут быть числа 1 , 2 , …, 6 с вероятностями . Тогда
М(Х i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .
Пусть Х=Х 1 ×Х 2 . Тогда
М(Х)=М(Х 1)×М(Х 2)= =12,25 .
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин (независимых или зависимых) равно сумме математических ожиданий слагаемых:
М(Х+Y)=M(X)+M(Y) .
Это свойство обобщается на случай произвольного количества слагаемых.
Пример . Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р 1 =0,4 , р 2 =0,3 и р 3 =0,6 . Найти математическое ожидание общего числа попаданий.
Решение . Пусть Х i – число попаданий при i -м выстреле. Тогда
М(Х i)=1×p i +0×(1–p i)=p i .
Таким образом,
M(X 1 +X 2 +X 3)= =0,4+0,3+0,6=1,3 .
Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X , заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m =M[X]=∑x i p i , если ряд сходится абсолютно.
Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) .
Свойства математического ожидания случайной величины
- Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
- M=C M[X]
- Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M=M[X]+M[Y]
- Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M=M[X] M[Y] , если X и Y независимы.
Свойства дисперсии
- Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
- Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
- Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Пример
. Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Алгоритм вычисления математического ожидания
Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению сопоставить отличную от нуля вероятность.- Поочередно умножаем пары: x i на p i .
- Складываем произведение каждой пары x i p i .
Например, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Пример №1 .
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x i p i .
Математическое ожидание M[X] .
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X] .
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Среднее квадратическое отклонение σ(x) .
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
Пример №2 . Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:
| Х | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| р | а | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Решение. Величину a находим из соотношения: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08
Пример №3
. Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х 1
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
Решение.
Здесь надо составить формулу нахождения дисперсии d(x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
где матожидание m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших данных
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соответственно надо найти корни уравнения, причем их будет два.
x 3 =8, x 3 =12
Выбираем тот, который удовлетворяет условию х 1
Закон распределения дискретной случайной величины
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3