Мановская работа" логарифмические неравенства в егэ". Логарифмические неравенства
Решение простейших логарифмических неравенств и неравенств, где основание логарифма фиксировано, мы рассматривали в прошлом уроке .
А что делать, если в основании логарифма стоит переменная?
Тогда нам на помощь придет рационализация неравенств. Чтобы понять, как это работает, давайте рассмотрим, например, неравенство:
$$\log_{2x} x^2 > \log_{2x} x.$$
Как положено, начнем с ОДЗ.
ОДЗ
$$\left[ \begin{array}{l}x>0,\\ 2x ≠ 1. \end{array}\right.$$
Решение неравенства
Давайте рассуждать, как если бы мы решали неравенство с фиксированным основанием. Если основание больше единицы, избавляемся от логарифмов, и знак неравенства не меняется, если меньше единицы - меняется.
Запишем это в виде системы:
$$\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l}2x>1,\\ x^2 > x; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{l}2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$
Для дальнейших рассуждений перенесем все правые части неравенств влево.
$$\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l}2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{l}2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$
Что у нас получилось? Получилось, что нам нужно, чтобы выражения `2x-1` и `x^2 - x` были одновременно либо положительными, либо отрицательными. Такой же результат получится, если мы решим неравенство:
$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$
Это неравенство так же как и исходная система верно, если оба множителя либо положительны, либо отрицательны. Получается можно от логарифмического неравенства перейти к рациональному (учтя при этом ОДЗ).
Сформулируем метод рационализации логарифмических неравенств $$\log_{f(x)} g(x) \vee \log_{f(x)} h(x) \Leftrightarrow (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \vee 0,$$ где `\vee` - это любой знак неравенства. (Для знака `>` мы только что проверили справедливость формулы. Для остальных предлагаю проверить самостоятельно - так запомнится лучше).
Вернемся к решению нашего неравенства. Разложив на скобки (чтобы было лучше видно нули функции), получим
$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$
Метод интервалов даст следующую картину:
(Поскольку неравенство строгое и концы интервалов нас не интересуют, они не закрашены.) Как видно, полученные интервалы удовлетворяют ОДЗ. Получили ответ: `(0,\frac{1}{2}) \cup (1,∞)`.
Пример второй. Решение логарифмического неравенства с переменным основанием
$$\log_{2-x} 3 \leqslant \log_{2-x} x.$$
ОДЗ
$$\left\{\begin{array}{l}2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1, \\ x > 0. \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}x < 2,\\ x ≠ 1, \\ x > 0. \end{array}\right.$$
Решение неравенства
По только что полученному нами правилу рационализации логарифмических неравенств, получим, что данное неравенство тождественно (с учетом ОДЗ) следующему:
$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$
$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$
Совместив это решение с ОДЗ, получим ответ: `(1,2)`.
Третий пример. Логарифм от дроби
$$\log_x\frac{4x+5}{6-5x} \leqslant -1.$$
ОДЗ
$$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{4x+5}{6-5x}>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end{array} \right.$$
Поскольку система относительно сложная, давайте сразу нанесем решение неравенств на числовую ось:
Таки образом, ОДЗ: `(0,1)\cup \left(1,\frac{6}{5}\right)`.
Решение неравенства
Представим `-1` в виде логарифма с основанием `x`.
$$\log_x\frac{4x+5}{6-5x} \leqslant \log_x x^{-1}.$$
С помощью рационализации логарифмического неравенства получим рациональное неравенство:
$$(x-1)\left(\frac{4x+5}{6-5x} -\frac{1}{x}\right)\leqslant0,$$
$$(x-1)\left(\frac{4x^2+5x - 6+5x}{x(6-5x)}\right)\leqslant0,$$
$$(x-1)\left(\frac{2x^2+5x - 3}{x(6-5x)}\right)\leqslant0.$$
решение неравенства в режиме онлайн решение почти любого заданного неравенства онлайн . Математические неравенства онлайн для решения математики. Быстро найти решение неравенства в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет найти решение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного неравенства онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать неравенства онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение неравенства онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических неравенства онлайн - это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические неравенства онлайн , тригонометрические неравенства онлайн , трансцендентные неравенства онлайн , а также неравенства с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Неравенства служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических неравенств можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины неравенств можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде неравенств и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое неравенство , тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения неравенств . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических неравенств онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических неравенств онлайн , тригонометрических неравенств онлайн , а также трансцендентных неравенств онлайн или неравенств с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению инетравол решений различных математических неравенств ресурса www.. Решая неравенства онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение неравенств на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать неравенство и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением неравенства. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить неравенство онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении неравенств онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или неравенство с неизвестными параметрами.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА В ЕГЭ
Сечин Михаил Александрович
Малая академия наук учащейся молодежи РК «Искатель»
МБОУ « Советская СШ №1», 11 класс, пгт. Советский Советского района
Гунько Людмила Дмитриевна, учитель МБОУ « Советская СШ №1»
Советского района
Цель работы: исследование механизма решения логарифмических неравенств С3 при помощи нестандартных методов, выявление интересных фактов логарифма.
Предмет исследования:
3)Научиться решать конкретные логарифмические неравенства С3 с помощью нестандартных методов.
Результаты:
Содержание
Введение………………………………………………………………………….4
Глава 1. История вопроса……………………………………………………...5
Глава 2. Сборник логарифмических неравенств ………………………… 7
2.1. Равносильные переходы и обобщенный метод интервалов…………… 7
2.2. Метод рационализации ………………………………………………… 15
2.3. Нестандартная подстановка………………............................................... 22
2.4. Задания с ловушками…………………………………………………… 27
Заключение…………………………………………………………………… 30
Литература……………………………………………………………………. 31
Введение
Я учусь в 11 классе и планирую поступить в ВУЗ, где профильным предметом является математика. А поэтому много работаю с задачами части С. В задании С3 нужно решить нестандартное неравенство или систему неравенств, как правило, связанное с логарифмами. При подготовке к экзамену я столкнулся с проблемой дефицита методов и приёмов решения экзаменационных логарифмических неравенств, предлагаемых в С3. Методы, которые изучаются в школьной программе по этой теме, не дают базу для решения заданий С3. Учитель по математике предложила мне поработать с заданиями С3 самостоятельно под её руководством. Кроме этого, меня заинтересовал вопрос: а в жизни нашей встречаются логарифмы?
С учетом этого и была выбрана тема:
«Логарифмические неравенства в ЕГЭ»
Цель работы: исследование механизма решения задач С3 при помощи нестандартных методов, выявление интересных фактов логарифма.
Предмет исследования:
1)Найти необходимые сведения о нестандартных методах решения логарифмических неравенств.
2)Найти дополнительные сведения о логарифмах.
3)Научиться решать конкретные задачи С3 с помощью нестандартных методов.
Результаты:
Практическая значимость заключается в расширении аппарата для решения задач С3. Данный материал можно будет использовать на некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных занятий по математике.
Проектным продуктом станет сборник «Логарифмические неравенства С3 с решениями».
Глава 1. История вопроса
На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближённых вычислений, прежде всего, в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономии грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчётах. Трудности возникали и в других областях, например, в страховом деле нужны были таблицы сложных процентов для различных значений процента. Главную трудность представляли умножение, деление многозначных чисел, особенно тригонометрических величин.
Открытие логарифмов опиралось на хорошо известные к концу 16 века свойства прогрессий. О связи между членами геометрической прогрессии q, q2, q3, ... и арифметической прогрессией их показателей 1, 2, 3,... говорил еще в "Псалмите" Архимед. Другой предпосылкой было распространение понятия степени на отрицательные и дробные показатели. Многие авторы указывали, что умножению, делению, возведению в степень и извлечению корня в геометрической прогрессии соответствуют в арифметической - в том же порядке - сложение, вычитание, умножение и деление.
Здесь скрывалась идея логарифма как показателя степени.
В истории развития учения о логарифмах прошло несколько этапов.
1 этап
Логарифмы были изобретены не позднее 1594 года независимо друг от друга шотландским бароном Непером (1550-1617) и через десять лет швейцарским механиком Бюрги (1552-1632). Оба хотели дать новое удобное средство арифметических вычислений, хотя подошли они к этой задаче по-разному. Непер кинематически выразил логарифмическую функцию и, тем самым, вступил в новую область теории функции. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Впрочем, определение логарифма у обоих не похоже на современное. Термин "логарифм" (logarithmus) принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов: logos - "отношение" и ariqmo - "число", которое означало "число отношений". Первоначально Непер пользовался другим термином: numeri artificiales- "искусственные числа", в противоположность numeri naturalts -"числам естественным".
В 1615 году в беседе с профессором математики Грешем Колледжа в Лондоне Генри Бригсом (1561-1631) Непер предложил принять за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти - 100, или, что сводится к тому же, просто 1. Так появились десятичные логарифмы и были напечатаны первые логарифмические таблицы. Позже таблицы Бригса дополнил голландский книготорговец и любитель математики Андриан Флакк (1600-1667). Непер и Бригс, хотя пришли к логарифмам раньше всех, опубликовали свои таблицы позже других - в 1620 году. Знаки log и Log были введены в 1624 году И. Кеплером. Термин "натуральный логарифм" ввели Менголи в 1659 г. и вслед за ним Н. Меркатор в 1668 г., а издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 под названием "Новые логарифмы" лондонский учитель Джон Спейдел.
На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 году. Но во всех логарифмических таблицах были допущены ошибки при вычислении. Первые безошибочные таблицы вышли в 1857 году в Берлине в обработке немецкого математика К. Бремикера (1804-1877).
2 этап
Дальнейшее развитие теории логарифмов связано с более широким применением аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых. К тому времени относится установление связи между квадратурой равносторонней гиперболы и натуральным логарифмом. Теория логарифмов этого периода связана с именами целого ряда математиков.
Немецкий математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в сочинении
"Логарифмотехника" (1668) приводит ряд, дающий разложение ln(x+1) по
степеням х:
Это выражение в точности соответствует ходу его мысли, хотя он, конечно, пользовался не знаками d, ... , а более громоздкой символикой. С открытием логарифмического ряда изменилась техника вычисления логарифмов: они стали определяться с помощью бесконечных рядов. В своих лекциях "Элементарная математика с высшей точки зрения", прочитанных в 1907-1908 годах, Ф. Клейн предложил использовать формулу в качестве исходного пункта построения теории логарифмов.
3 этап
Определение логарифмической функции как функции обратной
показательной, логарифма как показателя степени данного основания
было сформулировано не сразу. Сочинение Леонарда Эйлера (1707-1783)
"Введение в анализ бесконечно малых" (1748 г.) послужило дальнейшему
развитию теории логарифмической функции. Таким образом,
прошло 134 года с тех пор, как логарифмы впервые были введены
(считая с 1614 г.), прежде чем математики пришли к определению
понятия логарифма, которое положено теперь в основу школьного курса.
Глава 2. Сборник логарифмических неравенств
2.1. Равносильные переходы и обобщенный метод интервалов.
Равносильные переходы
, если а > 1
, если 0 <
а <
1
Обобщённый метод интервалов
Данный способ наиболее универсален при решении неравенств практически любого типа. Схема решения выглядит следующим образом:
1. Привести неравенство к такому виду, где в левой части находится функция 
, а в правой 0.
2. Найти область определения функции .
3. Найти нули функции , то есть – решить уравнение 
(а решать уравнение обычно проще, чем решать неравенство).
4. Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.
5. Определить знаки функции на полученных интервалах.
6. Выбрать интервалы, где функция принимает необходимые значения, и записать ответ.
Пример 1.
Решение:
Применим метод интервалов
откуда
При этих значениях все выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны.
Ответ:
Пример 2.
Решение:
1-й способ . ОДЗ определяется неравенством x > 3. Логарифмируя при таких x по основанию 10, получаем
Последнее неравенство можно было бы решать, применяя правила разложения, т.е. сравнивая с нулём сомножители. Однако в данном случае легко определить интервалы знакопостоянства функции
поэтому можно применить метод интервалов.
Функция f (x ) = 2x (x - 3,5)lgǀ x - 3ǀ непрерывна при x > 3 и обращается в ноль в точках x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Таким образом, определяем интервалы знакопостоянства функции f (x ):
Ответ:
2-й способ . Применим непосредственно к исходному неравенству идеи метода интервалов.
Для этого напомним, что выражения a b - a c и (a - 1)(b - 1) имеют один знак. Тогда наше неравенство при x > 3 равносильно неравенству
или
Поcледнее неравенство решается методом интервалов
Ответ:
Пример 3.
Решение:
Применим метод интервалов
Ответ:
Пример 4.
Решение:
Так как 2x 2 - 3x + 3 > 0 при всех действительных x , то
Для решения второго неравенства воспользуемся методом интервалов
В первом неравенстве сделаем замену
тогда приходим к неравенству 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y , которые удовлетворяют неравенству -0,5 < y < 1.
Откуда, так как
получаем неравенство
которое выполняется при тех x , для которых 2x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Теперь с учетом решения второго неравенства системы окончательно получаем
Ответ:
Пример 5.
Решение:
Неравенство равносильно совокупности систем
или
Применим метод интервалов или
Ответ :
Пример 6.
Решение:
Неравенство равносильно системе
Пусть
тогда y > 0,
и первое неравенство
системы принимает вид
или, раскладывая
квадратный трехчлен на множители,
Применяя к последнему неравенству метод интервалов,
видим, что его решениями, удовлетворяющими условию y > 0 будут все y > 4.
Таким образом исходное неравенство эквивалентно системе:
Итак, решениями неравенства являются все
2.2. Метод рационализации.
Раньше методом рационализации неравенства не решали, его не знали. Это "новый современный эффективный метод решения показательных и логарифмических неравенств" (цитата из книжки Колесниковой С.И.)
И даже, если педагог его знал, была опаска - а знает ли его эксперт ЕГЭ, а почему в школе его не дают? Были ситуации, когда учитель говорил ученику: "Где взял? Садись - 2."
Сейчас метод повсеместно продвигается. И для экспертов есть методические указания, связанные с этим методом, и в "Самых полных изданиях типовых вариантов..." в решении С3 используется этот метод.
МЕТОД ЧУДЕСНЫЙ!
«Волшебная таблица»
В других источниках
если a >1 и b >1, то log a b >0 и (a -1)(b -1)>0;
если a
>1 и 0 если 0<a
<1 и b
>1, то log
a
b
<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
если 0<a
<1 и 00 и (a
-1)(b
-1)>0.
Проведенные рассуждения несложные, но заметно упрощающие решение логарифмических неравенств.
Пример 4.
log
x
(x
2 -3)<0
Решение:
Пример 5.
log
2 x
(2x
2 -4x
+6)≤log
2 x
(x
2 +x
)
Решение:
Пример 6.
Для решения этого неравенства вместо знаменателя запишем (х-1-1)(х-1), а вместо числителя - произведение (х-1)(х-3-9+х).
Пример 7.
Пример 8.
2.3. Нестандартная подстановка.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
Пример 6.
Пример 7.
log
4 (3 x
-1)log
0,25 Сделаем замену у=3 х -1; тогда данное неравенство примет вид
Log
4 log
0,25 Так как log
0,25 Сделаем замену t
=log
4 y
и получим неравенство t
2 -2t
+≥0, решением которого являются промежутки - Таким образом, для нахождения значений у имеем совокупность двух простейших неравенств Следовательно, исходное неравенство равносильно совокупности двух показательных неравенств, Решением первого неравенства этой совокупности является промежуток 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Пример 8.
Решение:
Неравенство равносильно системе
Решением второго неравенства, определяющего ОДЗ, будет множество тех x
,
для которых x
> 0.
Для решения первого неравенства сделаем замену
Тогда получаем неравенство
или
Множество решений последнего неравенства находится методом
интервалов: -1 < t
< 2. Откуда, возвращаясь к переменной x
, получаем
или
Множество тех x
, которые удовлетворяют последнему неравенству
принадлежит ОДЗ (x
> 0), следовательно, является решением системы,
а значит, и исходного неравенства.
Ответ:
2.4. Задания с ловушками.
Пример 1.
Решение.
ОДЗ неравенства есть все х, удовлетворяющие условию 0 Пример 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Ответ
. (0; 0,5)U
.
Ответ:
(3;6)
.
= -log
4 = -(log
4 y
-log
4 16)=2-log
4 y
, то перепишем последнее неравенство в виде 2log
4 y
-log
4 2 y
≤.
Решение этой совокупности есть промежутки 0<у≤2 и 8≤у<+.
то есть совокупности 
. Таким образом, исходное неравенство выполняется для всех значений х из промежутков 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Следовательно, все х из промежутка 0
Заключение
Было не просто найти из большого обилия разных учебных источников особые методы решения задач С3. В ходе проделанной работы мне удалось изучить нестандартные методы решения сложных логарифмических неравенств. Это: равносильные переходы и обобщённый метод интервалов, метод рационализации, нестандартная подстановка, задания с ловушками на ОДЗ. В школьной программе эти методы отсутствуют.
Разными методами я решил 27 неравенств, предлагаемых на ЕГЭ в части С, а именно С3. Эти неравенства с решениями по методам легли в основу сборника «Логарифмические неравенства С3 с решениями», который стал проектным продуктом моей деятельности. Гипотеза, поставленная мною вначале проекта, подтвердилась: задачи С3 можно эффективно решать, зная эти методы.
Кроме этого, я выявил интересные факты логарифмов. Мне это было интересно делать. Мои проектные продукты будут полезны как для учащихся, так и для учителей.
Выводы:
Таким образом, поставленная цель проекта достигнута, проблема решена. А я получил наиболее полный и разносторонний опыт проектной деятельности на всех этапах работы. В ходе работы над проектом у меня основное развивающее воздействие было оказано на мыслительную компетентность, деятельность, связанную с логическими мыслительными операциями, развитие творческой компетентности, личной инициативы, ответственности, настойчивости, активности.
Гарантией успеха при создании исследовательского проекта для меня стали: значительный школьный опыт, умение добывать информацию из различных источников, проверять ее достоверность, ранжировать ее по значимости.
Кроме непосредственно предметных знаний по математике, расширил свои практические навыки в области информатики, получил новые знания и опыт в области психологии, наладил контакты с одноклассниками, научился сотрудничать с взрослыми людьми. В ходе проектной деятельности развивались организационные, интеллектуальные и коммуникативные общеучебные умения и навыки.
Литература
1. Корянов А. Г. ,Прокофьев А. А. Системы неравенств с одной переменной (типовые задания С3).
2. Малкова А. Г. Подготовка к ЕГЭ по математике.
3. Самарова С. С. Решение логарифмических неравенств.
4. Математика. Сборник тренировочных работ под редакцией А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. -М.: МЦНМО, 2009. - 72 с.-
Вам кажется, что до ЕГЭ еще есть время, и вы успеете подготовиться? Быть может, это и так. Но в любом случае, чем раньше школьник начинает подготовку, тем успешнее он сдает экзамены. Сегодня мы решили посвятить статью логарифмическим неравенствам. Это одно из заданий, а значит, возможность получить дополнительный балл.
Вы уже знаете, что такое логарифм(log)? Мы очень надеемся, что да. Но даже если у вас нет ответа на этот вопрос, это не проблема. Понять, что такое логарифм очень просто.
Почему именно 4? В такую степень нужно возвести число 3, чтобы получилось 81. Когда вы поняли принцип, можно приступать и к более сложным вычислениям.
Неравенства вы проходили еще несколько лет назад. И с тех пор они постоянно встречаются вам в математике. Если у вас проблемы с решением неравенств, ознакомьтесь с соответствующим разделом.
Теперь, когда мы познакомились с понятиями по отдельности, перейдем к их рассмотрению в общем.
Самое простое логарифмическое неравенство.
Простейшие логарифмические неравенства не ограничиваются этим примером, есть еще три, только с другими знаками. Зачем это нужно? Чтобы полнее понять, как решать неравенство с логарифмами. Теперь приведем более применимый пример, все еще достаточно простой, сложные логарифмические неравенства оставим на потом.
Как это решить? Все начинается с ОДЗ. О нем стоит знать больше, если хочется всегда легко решать любое неравенство.
Что такое ОДЗ? ОДЗ для логарифмических неравенств
Аббревиатура расшифровывается как область допустимых значений. В заданиях для ЕГЭ нередко всплывает данная формулировка. ОДЗ пригодится вам не только в случае логарифмических неравенств.
Посмотрите еще раз на вышеприведенный пример. Мы будем рассматривать ОДЗ, исходя из него, чтобы вы поняли принцип, и решение логарифмических неравенств не вызывало вопросов. Из определения логарифма следует что, 2х+4 должно быть больше нуля. В нашем случае это означает следующее.
Это число по определению должно быть положительным. Решите неравенство, представленное выше. Это можно сделать даже устно, здесь явно, что X не может быть меньше 2. Решение неравенства и будет определением области допустимых значений.
Теперь перейдем к решению простейшего логарифмического неравенства.
Отбрасываем из обеих частей неравенства сами логарифмы. Что в результате у нас остается? Простое неравенство.
Решить его несложно. X должен быть больше -0,5. Теперь совмещаем два полученных значения в систему. Таким образом,
Это и будет область допустимых значений для рассматриваемого логарифмического неравенства.
Зачем вообще нужно ОДЗ? Это возможность отсеять неверные и невозможные ответы. Если ответ не входит в область допустимых значений, значит, ответ попросту не имеет смысла. Это стоит запомнить надолго, так как в ЕГЭ часто встречается необходимость поиска ОДЗ, и касается она не только логарифмических неравенств.
Алгоритм решения логарифмического неравенства
Решение состоит из нескольких этапов. Во-первых, необходимо найти область допустимых значений. В ОДЗ будет два значения, это мы рассмотрели выше. Далее нужно решить само неравенство. Методы решения бывают следующими:
- метод замены множителей;
- декомпозиции;
- метод рационализации.
В зависимости от ситуации стоит применять один из вышеперечисленных методов. Перейдем непосредственно к решению. Раскроем наиболее популярный метод, который подходит для решения заданий ЕГЭ практически во всех случаях. Далее мы рассмотрим метод декомпозиции. Он может помочь, если попалось особенно «заковыристое» неравенство. Итак, алгоритм решения логарифмического неравенства.
Примеры решения :
Мы не зря взяли именно такое неравенство! Обратите внимание на основание. Запомните: если оно больше единицы, знак остается прежним при нахождении области допустимых значений; в противном случае нужно изменить знак неравенства.
В результате мы получаем неравенство:
Теперь приводим левую часть к виду уравнения, равному нулю. Вместо знака «меньше» ставим «равно», решаем уравнение. Таким образом, мы найдем ОДЗ. Надеемся, что с решением такого простого уравнения у вас не будет проблем. Ответы -4 и -2. Это еще не все. Нужно отобразить эти точки на графике, расставить «+» и «-». Что нужно для этого сделать? Подставить в выражение числа из интервалов. Где значения положительны, там ставим «+».
Ответ : х не может быть больше -4 и меньше -2.
Мы нашли область допустимых значений только для левой части, теперь нужно найти область допустимых значений правой части. Это не в пример легче. Ответ: -2. Пересекаем обе полученные области.
И только теперь начинаем решать само неравенство.
Упростим его, насколько возможно, чтобы решать было легче.
Снова применяем метод интервалов в решении. Опустим выкладки, с ним уже и так все понятно по предыдущему примеру. Ответ.
Но этот метод подходит, если логарифмическое неравенство имеет одинаковые основания.
Решение логарифмических уравнений и неравенств с разными основаниями предполагает изначальное приведение к одному основанию. Далее применяйте вышеописанный метод. Но есть и более сложный случай. Рассмотрим один из самых сложных видов логарифмических неравенств.
Логарифмические неравенства с переменным основанием
Как решать неравенства с такими характеристиками? Да, и такие могут встретиться в ЕГЭ. Решение неравенств нижеследующим способом тоже полезно скажется на вашем образовательном процессе. Разберемся в вопросе подробным образом. Отбросим теорию, перейдем сразу к практике. Чтобы решать логарифмические неравенства, достаточно однажды ознакомиться с примером.
Чтобы решить логарифмическое неравенство представленного вида, необходимо привести правую часть к логарифму с тем же основанием. Принцип напоминает равносильные переходы. В итоге неравенство будет выглядеть следующим образом.
Собственно, остается создать систему неравенств без логарифмов. Используя метод рационализации, переходим к равносильной системе неравенств. Вы поймете и само правило, когда подставите соответствующие значения и проследите их изменения. В системе будут следующие неравенства.
Воспользовавшись методом рационализации при решении неравенств нужно помнить следующее: из основания необходимо вычесть единицу, х по определению логарифма из обеих частей неравенства вычитается (правое из левого), два выражения перемножаются и выставляются под исходным знаком по отношению к нулю.
Дальнейшее решение осуществляется методом интервалов, здесь все просто. Вам важно понять отличия в методах решения, тогда все начнет легко получаться.
В логарифмических неравенствах много нюансов. Простейшие из них решать достаточно легко. Как сделать так, чтобы решать каждое из них без проблем? Все ответы вы уже получили в этой статье. Теперь впереди вас ждет длительная практика. Постоянно практикуйтесь в решении самых разных задач в рамках экзамена и сможете получить наивысший балл. Успехов вам в вашем непростом деле!
Логарифмическим уравнениям и неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3 . Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично». В данной статье представлен краткий обзор часто встречающихся логарифмических уравнений и неравенств, а также основных методов их решения.
Итак, разберем сегодня несколько примеров логарифмических уравнений и неравенств , которые предлагались учащимся в вариантах ЕГЭ по математике прошлых лет. Но начнет с краткого изложение основных теоретических моментов, которые нам понадобятся для их решения.
Логарифмическая функция
Определение
Функцию вида
0,\, a\ne 1 \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">
называют логарифмической функцией .
Основные свойства
Основные свойства логарифмической функции y = log a x :
Графиком логарифмической функции является логарифмическая кривая :
Свойства логарифмов
Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Если a и b a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство :
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Равенство log a t = log a s , где a > 0, a ≠ 1, t > 0, s > 0, справедливо тогда и только тогда, когда t = s.
Если a , b , c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма ):
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Теорема 1. Если f (x ) > 0 и g (x ) > 0, то логарифмическое уравнение log a f (x ) = log a g (x ) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f (x ) = g (x ).
Решение логарифмических уравнений и неравенств
Пример 1. Решите уравнение:
Решение. В область допустимых значений входят только те x , при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
С учетом того, что
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:
На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:
В область допустимых значений входит только первый корень.
Ответ: x = 7.
Пример 2. Решите уравнение:
Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:
ql-right-eqno">
Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.
Используем подстановку:
Уравнение принимает вид:
Обратная подстановка:
Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.
Пример 4. Решите уравнение:
Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:
ql-right-eqno">
Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:
Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.
Ответ: x = -1.
Пример 5. Решите уравнение:
Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x ≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:
Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения.
Пример 6. Решите уравнение:
Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:
Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:
В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4.
Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам . Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема:
Теорема 2.
Если f
(x
) > 0 и g
(x
) > 0, то:
при a
> 1 логарифмическое неравенство log a f
(x
) > log a g
(x
) равносильно неравенству того же смысла: f
(x
) > g
(x
);
при 0 < a
< 1 логарифмическое неравенство log a f
(x
) > log a g
(x
) равносильно неравенству противоположного смысла: f
(x
) < g
(x
).
Пример 7. Решите неравенство:
Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:
Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:
Пример 8. Решите неравенство:
Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:
После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:
С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:
Пример 9. Решите логарифмическое неравенство:
Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству:
С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:
Пример 10. Решите неравенство:
Решение.
Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству.