Определения и знаки синуса, косинуса, тангенса угла. Положительные и отрицательные углы в тригонометрии Какой знак у косинуса в 3 четверти

Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.

Тригонометрия – это раздел математики, занимающийся свойствами тригонометрических функций и зависимостью между сторонами и углами треугольников.

В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.

Основные величины тригонометрии

Основные тригонометрические функции числового аргумента – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.

В основе формул для расчета значений указанных величин лежит теорема Пифагора. Школьникам она больше известна в формулировке: «Пифагоровы штаны, во все стороны равны», так как доказательство приводится на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.

Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих величин для угла A и проследим взаимосвязи тригонометрических функций:

Как видно, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы с, а катет b в виде cos A * c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:

Тригонометрический круг

Графически соотношение упомянутых величин можно представить следующим образом:

Окружность, в данном случае, представляет собой все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от величины угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти окружности, то есть, находится в промежутке от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательным значением.

Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значение величин.

Значения α равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее – называют частными случаями. Значения тригонометрических функций для них просчитаны и представлены в виде специальных таблиц.

Данные углы выбраны отнюдь не случайно. Обозначение π в таблицах стоит для радиан. Рад — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Данная величина была введена для того, чтобы установить универсальную зависимость, при расчетах в радианах не имеет значение действительная длина радиуса в см.

Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:

Итак, не трудно догадаться, что 2π – это полная окружность или 360°.

Свойства тригонометрических функций: синус и косинус

Для того, чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо начертить их функции. Сделать это можно в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.

Рассмотри сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:

Синусоида Косинусоида
y = sin x y = cos x
ОДЗ [-1; 1] ОДЗ [-1; 1]
sin x = 0, при x = πk, где k ϵ Z cos x = 0, при x = π/2 + πk, где k ϵ Z
sin x = 1, при x = π/2 + 2πk, где k ϵ Z cos x = 1, при x = 2πk, где k ϵ Z
sin x = - 1, при x = 3π/2 + 2πk, где k ϵ Z cos x = - 1, при x = π + 2πk, где k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, т. е. функция нечетная cos (-x) = cos x, т. е. функция четная
функция периодическая, наименьший период - 2π
sin x › 0, при x принадлежащем I и II четвертям или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk) cos x › 0, при x принадлежащем I и IV четвертям или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, при x принадлежащем III и IV четвертям или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) cos x ‹ 0, при x принадлежащем II и III четвертям или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
возрастает на промежутке [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] возрастает на промежутке [-π + 2πk, 2πk]
убывает на промежутках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] убывает на промежутках
производная (sin x)’ = cos x производная (cos x)’ = - sin x

Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.

Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:

Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.

Свойства тангенсоиды и котангенсоиды

Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.

  1. Y = tg x.
  2. Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их.
  3. Наименьший положительный период тангенсоиды равен π.
  4. Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная.
  5. Tg x = 0, при x = πk.
  6. Функция является возрастающей.
  7. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
  8. Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
  9. Производная (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x .

Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.

Основные свойства котангенсоиды:

  1. Y = ctg x.
  2. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
  3. Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их.
  4. Наименьший положительный период котангенсоиды равен π.
  5. Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
  6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
  7. Функция является убывающей.
  8. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
  9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
  10. Производная (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Исправить

Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла »), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.

Синус угла α — это ордината (координата y ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

Косинус угла α — это абсцисса (координата x ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

Тангенс угла α — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты y к координате x .

Обозначение: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .

Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:

Синим цветом обозначено положительное направление оси OY (ось ординат), красным — положительное направление оси OX (ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:

  1. sin α > 0, если угол α лежит в I или II координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус — это ордината (координата y ). А координата y будет положительной именно в I и II координатных четвертях;
  2. cos α > 0, если угол α лежит в I или IV координатной четверти. Потому что только там координата x (она же — абсцисса) будет больше нуля;
  3. tg α > 0, если угол α лежит в I или III координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α = y : x , поэтому он положителен лишь там, где знаки x и y совпадают. Это происходит в I координатной четверти (здесь x > 0, y > 0) и III координатной четверти (x < 0, y < 0).

Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции — синуса, косинуса и тангенса — на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:


Заметьте: в своих рассуждениях я ни разу не говорил о четвертой тригонометрической функции — котангенсе. Дело в том, что знаки котангенса совпадают со знаками тангенса — никаких специальных правил там нет.

Теперь предлагаю рассмотреть примеры, похожие на задачи B11 из пробного ЕГЭ по математике, который проходил 27 сентября 2011. Ведь лучший способ понять теорию — это практика. Желательно — много практики. Разумеется, условия задач были немного изменены.

Задача. Определите знаки тригонометрических функций и выражений (значения самих функций считать не надо):

  1. sin (3π/4);
  2. cos (7π/6);
  3. tg (5π/3);
  4. sin (3π/4) · cos (5π/6);
  5. cos (2π/3) · tg (π/4);
  6. sin (5π/6) · cos (7π/4);
  7. tg (3π/4) · cos (5π/3);
  8. ctg (4π/3) · tg (π/6).

План действий такой: сначала переводим все углы из радианной меры в градусную (π → 180°), а затем смотрим в какой координатной четверти лежит полученное число. Зная четверти, мы легко найдем знаки — по только что описанным правилам. Имеем:

  1. sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Поскольку 135° ∈ , это угол из II координатной четверти. Но синус во II четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;
  2. cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ , это угол из III координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны. Следовательно, cos (7π/6) < 0;
  3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Поскольку 300° ∈ , мы находимся в IV четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) < 0;
  4. sin (3π/4) · cos (5π/6) = sin (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/6) = sin 135° · cos 150°. Разберемся с синусом: т.к. 135° ∈ , это II четверть, в которой синусы положительны, т.е. sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ — снова II четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) < 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
  5. cos (2π/3) · tg (π/4) = cos (2 · 180°/3) · tg (180°/4) = cos 120° · tg 45°. Смотрим на косинус: 120° ∈ — это II координатная четверть, поэтому cos (2π/3) < 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) < 0;
  6. sin (5π/6) · cos (7π/4) = sin (5 · 180°/6) · cos (7 · 180°/4) = sin 150° · cos 315°. Работаем с синусом: поскольку 150° ∈ , речь идет о II координатной четверти, где синусы положительны. Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел — такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
  7. tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°. Но угол 135° ∈ — это II четверть, т.е. tg (3π/4) < 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0. Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) < 0;
  8. ctg (4π/3) · tg (π/6) = ctg (4 · 180°/3) · tg (180°/6) = ctg 240° · tg 30°. Смотрим на аргумент котангенса: 240° ∈ — это III координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ — это I координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения — их произведение тоже будет положительным. Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.

В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать — именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.

Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].

Поскольку sin 2 α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8. Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] — это II координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 — неопределенность со знаками устранена.

Задача. Найдите cos α, если cos 2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].

Действуем аналогично, т.е. извлекаем квадратный корень: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о III координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.

Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,25 и α ∈ .

Имеем: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Снова смотрим на угол: α ∈ — это IV координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.

Задача. Найдите tg α, если tg 2 α = 9 и α ∈ .

Все то же самое, только для тангенса. Извлекаем квадратный корень: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ — это I координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!

Отсчёт углов на тригонометрическом круге.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Он почти такой, как в предыдущем уроке. Есть оси, окружность, угол, всё чин-чинарём. Добавлены номера четвертей (в уголках большого квадрата) - от первой, до четвёртой. А то вдруг кто не знает? Как видите, четверти (их ещё называют красивым словом "квадранты") нумеруются против хода часовой стрелки. Добавлены значения угла на осях. Всё понятно, никаких заморочек.

И добавлена зелёная стрелка. С плюсом. Что она означает? Напомню, что неподвижная сторона угла всегда прибита к положительной полуоси ОХ. Так вот, если подвижную сторону угла мы будем крутить по стрелке с плюсом , т.е. по возрастанию номеров четвертей, угол будет считаться положительным. Для примера на картинке показан положительный угол +60°.

Если будем откладывать углы в обратную сторону, по ходу часовой стрелки, угол будет считаться отрицательным. Наведите курсор на картинку (или коснитесь картинки на планшете), увидите синюю стрелку с минусом. Это - направление отрицательного отсчёта углов. Для примера показан отрицательный угол (- 60°). А ещё вы увидите, как поменялись циферки на осях... Я их тоже перевёл в отрицательные углы. Нумерация квадрантов не меняется.

Вот тут, обычно, начинаются первые непонятки. Как так!? А если отрицательный угол на круге совпадёт с положительным!? Да и вообще, получается что, одно и то же положение подвижной стороны (или точки на числовой окружности) можно обозвать как отрицательным углом, так и положительным!?

Да. Именно так. Скажем, положительный угол 90 градусов занимает на круге точно такое же положение, что и отрицательный угол в минус 270 градусов. Положительный угол, к примеру, +110° градусов занимает точно такое же положение, что и отрицательный угол -250°.

Не вопрос. Всяко правильно.) Выбор положительного или отрицательного исчисления угла зависит от условия задания. Если в условии ничего не сказано открытым текстом про знак угла, (типа "определить наименьший положительный угол" и т.д.), то работаем с удобными нам величинами.

Исключением (а как без них?!) являются тригонометрические неравенства, но там мы эту фишку освоим.

А теперь вопрос вам. Как я узнал, что положение угла 110° совпадает с положением угла -250°?
Намекну, что это связано с полным оборотом. В 360°... Непонятно? Тогда рисуем круг. Сами рисуем, на бумаге. Отмечаем угол примерно 110°. И считаем , сколько остается до полного оборота. Останется как раз 250°...

Уловили? А теперь - внимание! Если углы 110° и -250° занимают на круге одно и то же положение, то что? Да то, что у углов 110° и -250° совершенно одинаковые синус, косинус, тангенс и котангенс!
Т.е. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) и так далее. Вот это уже действительно важно! И само по себе - есть масса заданий, где надо упростить выражения, и как база для последующего освоения формул приведения и прочих премудростей тригонометрии.

Понятное дело, 110° и -250° я взял наобум, чисто для примера. Всё эти равенства работают для любых углов, занимающих одно положение на круге. 60° и -300°, -75° и 285°, ну и так далее. Отмечу сразу, что углы в этих парочках - разные. А вот тригонометрические функции у них - одинаковые.

Думаю, что такое отрицательные углы вы поняли. Это совсем просто. Против хода часовой стрелки - положительный отсчёт. По ходу - отрицательный. Считать угол положительным, или отрицательным зависит от нас . От нашего желания. Ну, и ещё от задания, конечно... Надеюсь, вы поняли и как переходить в тригонометрических функциях от отрицательных углов к положительным и обратно. Нарисовать круг, примерный угол, да посмотреть, сколько недостаёт до полного оборота, т.е. до 360°.

Углы больше 360°.

Займемся углами которые больше 360°. А такие бывают? Бывают, конечно. Как их нарисовать на круге? Да не проблема! Допустим, нам надо понять, в какую четверть попадёт угол в 1000°? Легко! Делаем один полный оборот против хода часовой стрелки (угол-то нам дали положительный!). Отмотали 360°. Ну и мотаем дальше! Ещё оборот - уже получилось 720°. Сколько осталось? 280°. На полный оборот не хватает... Но угол больше 270° - а это граница между третьей и четвёртой четвертью. Стало быть наш угол в 1000° попадает в четвёртую четверть. Всё.

Как видите, это совсем просто. Ещё раз напомню, что угол 1000° и угол 280°, который мы получили путём отбрасывания "лишних" полных оборотов - это, строго говоря, разные углы. Но тригонометрические функции у этих углов совершенно одинаковые ! Т.е. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° и т.д. Если бы я был синусом, я бы не заметил разницы между этими двумя углами...

Зачем всё это нужно? Зачем нам переводить углы из одного в другой? Да всё за тем же.) С целью упрощения выражений. Упрощение выражений, собственно, главная задача школьной математики. Ну и, попутно, голова тренируется.)

Ну что, потренируемся?)

Отвечаем на вопросы. Сначала простые.

1. В какую четверть попадает угол -325° ?

2. В какую четверть попадает угол 3000° ?

3. В какую четверть попадает угол -3000° ?

Есть проблемы? Или неуверенность? Идём в Раздел 555, Практическая работа с тригонометрическим кругом. Там, в первом уроке этой самой "Практической работы..." всё подробненько... В таких вопросах неуверенности быть не должно!

4. Какой знак имеет sin555° ?

5. Какой знак имеет tg555° ?

Определили? Отлично! Сомневаетесь? Надо в Раздел 555... Кстати, там научитесь рисовать тангенс и котангенс на тригонометрическом круге. Очень полезная штучка.

А теперь вопросы помудрёнее.

6. Привести выражение sin777° к синусу наименьшего положительного угла.

7. Привести выражение cos777° к косинусу наибольшего отрицательного угла.

8. Привести выражение cos(-777°) к косинусу наименьшего положительного угла.

9. Привести выражение sin777° к синусу наибольшего отрицательного угла.

Что, вопросы 6-9 озадачили? Привыкайте, на ЕГЭ и не такие формулировочки встречаются... Так и быть, переведу. Только для вас!

Слова "привести выражение к..." означают преобразовать выражение так, чтобы его значение не изменилось, а внешний вид поменялся в соответствии с заданием. Так, в задании 6 и 9 мы должны получить синус, внутри которого стоит наменьший положительный угол. Всё остальное - не имеет значения.

Ответы выдам по порядку (в нарушение наших правил). А что делать, знака всего два, а четверти всего четыре... Не разбежишься в вариантах.

6. sin57°.

7. cos(-57°).

8. cos57°.

9. -sin(-57°)

Предполагаю, что ответы на вопросы 6 -9 кое-кого смутили. Особенно -sin(-57°) , правда?) Действительно, в элементарных правилах отсчёта углов есть место для ошибок... Именно поэтому пришлось сделать урок: "Как определять знаки функций и приводить углы на тригонометрическом круге?" В Разделе 555. Там задания 4 - 9 разобраны. Хорошо разобраны, со всеми подводными камнями. А они тут есть.)

В следующем уроке мы разберёмся с загадочными радианами и числом "Пи" . Научимся легко и правильно переводить градусы в радианы и обратно. И с удивлением обнаружим, что этой элементарной информации на сайте уже хватает , чтобы решать некоторые нестандартные задачки по тригонометрии!

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.


В этой статье собраны таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов . Сначала мы приведем таблицу основных значений тригонометрических функций, то есть, таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). После этого мы дадим таблицу синусов и косинусов, а также таблицу тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса, и покажем, как использовать эти таблицы при нахождении значений тригонометрических функций.

Навигация по странице.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

Список литературы.

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
  • Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. - 2-е изд. - М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

Позволяют установить ряд характерных результатов – свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса . В этой статье мы рассмотрим три основных свойства. Первое из них указывает знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α в зависимости от того, углом какой координатной четверти является α . Дальше мы рассмотрим свойство периодичности, устанавливающее неизменность значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α при изменении этого угла на целое число оборотов. Третье свойство выражает зависимость между значениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса противоположных углов α и −α .

Если же Вас интересуют свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса, то их можно изучить в соответствующем разделе статьи .

Навигация по странице.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям

Ниже в этом пункте будет встречаться фраза «угол I , II , III и IV координатной четверти». Объясним, что же это за углы.

Возьмем единичную окружность , отметим на ней начальную точку А(1, 0) , и повернем ее вокруг точки O на угол α , при этом будем считать, что мы попадем в точку A 1 (x, y) .

Говорят, что угол α является углом I , II , III , IV координатной четверти , если точка А 1 лежит в I , II , III , IV четверти соответственно; если же угол α таков, что точка A 1 лежит на любой из координатных прямых Ox или Oy , то этот угол не принадлежит ни одной из четырех четвертей.

Для наглядности приведем графическую иллюстрацию. На чертежах ниже изображены углы поворота 30 , −210 , 585 и −45 градусов, которые являются углами I , II , III и IV координатных четвертей соответственно.

Углы 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов не принадлежат ни одной из координатных четвертей.

Теперь разберемся, какие знаки имеют значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота α в зависимости от того, углом какой четверти является α .

Для синуса и косинуса это сделать просто.

По определению синус угла α - это ордината точки А 1 . Очевидно, что в I и II координатных четвертях она положительна, а в III и IV четвертях – отрицательна. Таким образом, синус угла α имеет знак плюс в I и II четвертях, а знак минус – в III и VI четвертях.

В свою очередь косинус угла α - это абсцисса точки A 1 . В I и IV четвертях она положительна, а во II и III четвертях – отрицательна. Следовательно, значения косинуса угла α в I и IV четвертях положительны, а во II и III четвертях – отрицательны.


Чтобы определить знаки по четвертям тангенса и котангенса нужно вспомнить их определения: тангенс – это отношение ординаты точки A 1 к абсциссе, а котангенс – отношение абсциссы точки A 1 к ординате. Тогда из правил деления чисел с одинаковыми и разными знаками следует, что тангенс и котангенс имеют знак плюс, когда знаки абсциссы и ординаты точки A 1 одинаковые, и имеют знак минус – когда знаки абсциссы и ординаты точки A 1 различны. Следовательно, тангенс и котангенс угла имеют знак + в I и III координатных четвертях, и знак минус – во II и IV четвертях.

Действительно, например, в первой четверти и абсцисса x , и ордината y точки A 1 положительны, тогда и частное x/y , и частное y/x – положительно, следовательно, тангенс и котангенс имеют знаки + . А во второй четверти абсцисса x – отрицательна, а ордината y – положительна, поэтому и x/y , и y/x – отрицательны, откуда тангенс и котангенс имеют знак минус.


Переходим к следующему свойству синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Свойство периодичности

Сейчас мы разберем, пожалуй, самое очевидное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Оно состоит в следующем: при изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса этого угла не изменяются.

Это и понятно: при изменении угла на целое число оборотов мы из начальной точки А всегда будем попадать в точку А 1 на единичной окружности, следовательно, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса остаются неизменными, так как неизменны координаты точки A 1 .

С помощью формул рассматриваемое свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно записать так: sin(α+2·π·z)=sinα , cos(α+2·π·z)=cosα , tg(α+2·π·z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , где α - угол поворота в радианах, z – любое , абсолютная величина которого указывает количество полных оборотов, на которые изменяется угол α , а знак числа z указывает направление поворота.

Если же угол поворота α задан в градусах, то указанные формулы перепишутся в виде sin(α+360°·z)=sinα , cos(α+360°·z)=cosα , tg(α+360°·z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .

Приведем примеры использования этого свойства. Например, , так как , а . Вот еще пример: или .

Это свойство вместе с формулами приведения очень часто используется при вычислении значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса «больших» углов.

Рассмотренное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса иногда называют свойством периодичности.

Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

Пусть А 1 – точка, полученная в результате поворота начальной точки А(1, 0) вокруг точки O на угол α , а точка А 2 – это результат поворота точки А на угол −α , противоположный углу α .

Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов базируется на достаточно очевидном факте: упомянутые выше точки А 1 и А 2 либо совпадают (при ), либо располагаются симметрично относительно оси Ox . То есть, если точка A 1 имеет координаты (x, y) , то точка А 2 будет иметь координаты (x, −y) . Отсюда по определениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса записываем равенства и .
Сопоставляя их, приходим к соотношениям между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов α и −α вида .
Это и есть рассматриваемое свойство в виде формул.

Приведем примеры использования этого свойства. Например, справедливы равенства и .

Остается лишь заметить, что свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов, как и предыдущее свойство, часто используется при вычислении значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса, и позволяет полностью уйти от отрицательных углов.

Список литературы.

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.