Семь формул сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения — Гипермаркет знаний
Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей , решении интегралов и многом другом. А значит будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.
И так вот они:
Первая х 2 - у 2 = (х - у) (х+у) .Чтобы рассчитать разность квадратов двух выражений надо перемножить разности этих выражений на их суммы.
Вторая (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 . Чтобы найти квадрат суммы двух выражений нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Третья (х - у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 . Чтобы вычислить квадрат разности двух выражений нужно от квадрата первого выражения отнять удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Четвертая (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3. Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
Пятая (х - у) 3 = х 3 - 3х 2 у + 3ху 2 - у 3 . Чтобы рассчитать куб разности двух выражений необходимо от куба первого выражения отнять утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
Шестая х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 - ху + у 2) Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.
Седьмая х 3 - у 3 = (х - у) (х 2 + ху + у 2) Чтобы произвести вычисление разности кубов двух выражений надо умножить разность первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.
Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).
О существовании этих закономерностей з нали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.
Разберем доказательство квадрата суммы (а + b) 2 = a 2 +2ab +b 2 .
Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а 2 ”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник , заключенный между отрезками a и b”.
Для того что бы упростить алгебраические многочлены, существуют формулы сокращенного умножения . Их не так уж и много и они легко запоминаются, а запомнить их нужно. Обозначения которые используются в формулах, могут принимать любой вид (число или многочлен).
Первая формула сокращенного умножения называется разность квадратов
. Она заключается в том что из квадрата одного числа отнимается квадрат второго числа равен величине разности данных чисел, а также их произведению.
а 2 - b 2 = (а - b)(a + b)
Разберем для наглядности:
22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9а 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)
Вторая формула о сумме квадратов . Звучит она как, сумма двух величин в квадрате равняется квадрату первой величины к ней прибавляется двойное произведение первой величины умноженное на вторую, к ним прибавляется квадрат второй величины.
(а + b) 2 = a 2 +2ab + b 2
Благодаря данной формуле, становится намного проще вычислять квадрат от большого числа, без использования вычислительной техники.
Так к примеру:
квадрат от 112 будет равен
1) В начале разберем 112 на числа квадраты которых нам знакомы
112 = 100 + 12
2) Вписываем полученное в скобки возведенные в квадрат
112 2 = (100+12) 2
3) Применяя формулу, получаем:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544
Третья формула это квадрат разности
. Которая гласит о том, что две вычитаемые друг друга величины в квадрате равняются, тому что, от первой величины в квадрате отнимаем двойное произведение первой величины умноженное на вторую, прибавляя к ним квадрат второй величины.
(а +b) 2 = а 2 - 2аb + b 2
где (а - b) 2 равняется (b - а) 2 . В доказательство чему, (а-b) 2 = а 2 -2аb+b 2 = b 2 -2аb + а 2 = (b-а) 2
Четвертая формула сокращенного умножения называется куб суммы . Которая звучит как: две слагаемые величины в кубе равны кубу 1 величины прибавляется тройное произведение 1 величины в квадрате умноженное на 2-ую величину, к ним прибавляется тройное произведение 1 величины умноженной на квадрат 2 величины, плюс вторая величина в кубе.
(а+b) 3 = а 3 + 3а 2 b + 3аb 2 + b 3
Пятая, как вы уже поняли называется куб разности
. Которая находит разности между величинами, как от первого обозначения в кубе отнимаем тройное произведение первого обозначения в квадрате умноженное на второе, к ним прибавляется тройное произведение первого обозначения умноженной на квадрат второго обозначения, минус второе обозначение в кубе.
(а-b) 3 = а 3 - 3а 2 b + 3аb 2 - b 3
Шестая называется - сумма кубов
. Сумма кубов равняется произведению двух слагаемых величин, умноженных на неполный квадрат разности, так как в середине нет удвоенного значения.
а 3 + b 3 = (а+b)(а 2 -аb+b 2)
По другому можно сказать сумму кубов можно назвать произведение в двух скобках.
Седьмая и заключительная, называется разность кубов
(ее легко перепутать с формулой куба разности, но это разные вещи). Разность кубов равняется произведению от разности двух величин, умноженных на неполный квадрат суммы, так как в середине нет удвоенного значения.
а 3 - b 3 = (а-b)(а 2 +аb+b 2)
И так формул сокращенного умножения всего 7, они похожи друг на друга и легко запоминаются, единственно важно не путаться в знаках. Они так же рассчитаны на то, что их можно использовать в обратном порядке и в учебниках собрано довольно много таких заданий. Будьте внимательны и все у вас получится.
Если у вас появились вопросы по формулам, обязательно пишите их в комментариях. Будем рады ответить вам!
Если Вы находитесь в декретном отпуске, но хотите зарабатывать деньги. Просто перейдите по ссылке Интернет бизнес с Орифлейм . Там все очень подробно написано и показано. Будет интересно!
На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.
Рассмотрим формулу квадрата суммы:
Итак, мы вывели формулу квадрата суммы:
Словесно эта формула выражается так: квадрат суммы равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
Данную формулу легко представить геометрически.
Рассмотрим квадрат со стороной :
Площадь квадрата.
С другой стороны, этот же квадрат можно представить иначе, разбив сторону на а и b (рис. 1).
Рис. 1. Квадрат
Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:
Поскольку квадраты были одинаковы, то их площади равны, значит:
Итак, мы доказали геометрически формулу квадрата суммы.
Рассмотрим примеры:
Комментарий: пример решен с применением формулы квадрата суммы.
Выведем формулу квадрата разности:
Итак, мы вывели формулу квадрата разности:
Словесно эта формула выражается так: квадрат разности равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
Рассмотрим примеры:
Формулы квадрата суммы и квадрата разности могут работать как слева направо, так и справа налево. При использовании слева направо это будут формулы сокращенного умножения, они применяются при вычислении и преобразовании примеров. А при использовании справа налево - формулы разложения на множители.
Рассмотрим примеры, в которых нужно разложить заданный многочлен на множители, применяя формулы квадрата суммы и квадрата разности. Для этого нужно очень внимательно посмотреть на многочлен и определить, как именно его правильно разложить.
Комментарий: для того, чтобы разложить многочлен на множители, нужно определить, что представлено в данном выражении. Итак, мы видим квадрат и квадрат единицы. Теперь нужно найти удвоенное произведение - это . Итак, все необходимые элементы есть, нужно только определить, это квадрат суммы или разности. Перед удвоенным произведением стоит знак плюс, значит, перед нами квадрат суммы.
Умножение многочлена на многочлен
! Чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно каждое слагаемое одного многочлена умножить на каждое слагаемое другого многочлена и полученные произведения сложить.
Будьте внимательны! У каждого слагаемого есть свой знак.
Формулы сокращённого умножения
многочленов - это, как правило, 7 (семь) часто встречающихся случаев умножения многочленов.
Определения и Формулы сокращенного умножения. Таблица
Таблица 2. Определения формул сокращенного умножения (нажмите для увеличения)
Три формулы сокращенного умножения для квадратов
1. Формула квадрата суммы.
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Чтобы лучше понять формулу, сначала упростим выражение (развернем формулу квадрата суммы)
А теперь разложим на множители (свернем формулу)
Последовательность действий при разложении на множители:
- определи, какие одночлены возводились в квадрат (5 и 3m );
- проверь, стоит ли в середине формулы их удвоенное произведение (2 5 3m = 30m );
- запиши ответ (5 + 3m) 2 .
2. Формула квадрата разности
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Сначала упростим выражение (развернем формулу):
А потом наоборот, разложим на множители (свернем формулу):
3. Формула разности квадратов
Произведение суммы двух выражений на их разность равно разности квадратов этих выражений.
Свернем формулу (выполним умножение)
А теперь развернем формулу (разложим на множители)
Четыре формулы сокращенного умножения для кубов
4. Формула куба суммы двух чисел
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
Последовательность действий при «сворачивании» формулы:
- найти одночлены, которые возводились в куб (здесь 4х и 1 );
- проверить средние слагаемые на соответствие формуле;
- записать ответ.
5. Формула куба разности двух чисел
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
6. Формула суммы кубов
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.
И обратно:
7. Формула разности кубов
Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.
Применение формул сокращенного умножения. Таблица
Пример использования формул на практике (устный счет).
Задача: Найти площадь квадрата со стороной а = 71 см.
Решение: S = a 2 . Используя формулу квадрата суммы, имеем
71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 см 2
Ответ: 5041 см 2
Формулы сокращенного умножения. Тренировка.
Попробуй таким способом вычислить следующие выражения:
Ответы:
Либо, если ты знаешь квадраты основных двухзначных чисел, вспомни, сколько будет? Вспомнил? . Отлично! Так как мы возводим в квадрат, то мы должны умножить на. Получается, что.
Помни, что формулы квадрат суммы и квадрат разности справедливы не только для числовых выражений:
Посчитай самостоятельно следующие выражения:
Ответы:
Формулы сокращенного умножения. Итог.
Подведем небольшой итог и запишем формулы квадрата суммы и разности в одну строку:
Теперь потренируемся «собирать» формулу из разложенного вида в вид. Данный навык понадобится нам в дальнейшем при преобразовании больших выражений.
Допустим, у нас есть следующее выражение:
Мы знаем, что квадрат суммы (или разности) - это квадрат одного числа квадрат другого числа и удвоенное произведение этих чисел .
В данной задаче легко увидеть квадрат одного числа - это. Соответственно, одно из чисел, входящих в скобку, - это квадратный корень из, то есть
Так как во втором слагаемом есть, значит, это удвоенное произведение одного и другого числа, соответственно:
Где - второе число, входящее в нашу скобку.
Второе число, входящее в скобку, равно.
Проверим. должно быть равно. Действительно так и есть, значит, мы нашли оба числа, присутствующие в скобках: и. Осталось определить знак, который стоит между ними. Как ты думаешь, что за знак там будет?
Правильно! Так как мы прибавляем удвоенное произведение, то между числами будет стоять знак сложения. Теперь запиши преобразованное выражение. Справился? У тебя должно получиться следующее:
Заметь: перемена мест слагаемых не сказывается на результате (неважно, сложение или вычитание стоит между и).
Совершенно необязательно, чтобы слагаемые в преобразуемом выражении стояли так, как написано в формуле. Посмотри на это выражение: . Попробуй преобразовать его самостоятельно. Получилось?
Потренируйся - преобразуй следующие выражения:
Ответы: Справился? Закрепим тему. Выбери из приведенных ниже выражений те, которые можно представить в виде квадрата суммы или разности.
- - докажи, что это равносильно.
- - нельзя представить как квадрат; можно было бы представить, если вместо было.
Разность квадратов
Еще одна формула сокращенного умножения - разность квадратов.
Разность квадратов это не квадрат разности!
Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:
Проверим, верна ли эта формула. Для этого перемножим, как делали при выведении формул квадрата суммы и разности:
Таким образом, мы только что удостоверились, что формула действительно верная. Данная формула также упрощает сложные вычислительные действия. Приведем пример:
Необходимо вычислить: . Конечно, мы можем возвести в квадрат, затем возвести в квадрат и вычесть одно из другого, но формула упрощает нам задачу:
Получилось? Сверим результаты:
Так же как и квадрат суммы (разности), формула разности квадратов может применяться не только с числами:
Умение раскладывать разность квадратов поможет нам преобразовывать сложные математические выражения.
Обрати внимание:
Поскольку, при разложении на квадрат разности правого выражения мы получим
Будь внимателен и смотри, какое конкретное слагаемое возводится в квадрат! Для закрепления темы преобразуй следующие выражения:
Записал? Сравним полученные выражения:
Теперь, когда ты усвоил квадрат суммы и квадрат разности, а также разность квадратов, попробуем решать примеры на комбинацию этих трех формул.
Преобразование элементарных выражений (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов)
Допустим, нам дан пример
Необходимо упростить данное выражение. Посмотри внимательно, что ты видишь в числителе? Правильно, числитель - это полный квадрат:
Упрощая выражение, помни, что подсказка, в какую сторону двигаться в упрощении, находится в знаменателе (или в числителе). В нашем случае, когда знаменатель разложен, и больше ничего сделать нельзя, можно понять, что числителем будет либо квадрат суммы, либо квадрат разности. Так как мы прибавляем, то становится ясно, что числитель - квадрат суммы.
Попробуй самостоятельно преобразовать следующие выражения:
Получилось? Сравниваем ответы и двигаемся дальше!
Куб суммы и куб разности
Формулы куб суммы и куб разности выводятся аналогичным образом, как квадрат суммы и квадрат разности : раскрытием скобок при перемножении членов друг на друга.
Если квадрат суммы и квадрат разности запомнить весьма легко, то возникает вопрос «как запомнить кубы?»
Посмотри внимательно на две описываемые формулы в сравнении с возведением аналогичных членов в квадрат:
Какую ты видишь закономерность?
1. При возведении в квадрат у нас есть квадрат первого числа и квадрат второго; при возведении в куб - есть куб одного числа и куб другого числа.
2. При возведении в квадрат , у нас есть удвоенное произведение чисел (числа в 1 степени, что на одну степень меньше чем та, в которую возводим выражение); при возведении в куб - утроенное произведение, при котором одно из чисел возводится в квадрат (что так же на 1 степень меньше, чем степень, в которую возводим выражение).
3. При возведении в квадрат знак в скобках в раскрытом выражении отражается при прибавлении (или вычитании) удвоенного произведения - если в скобках сложение, то прибавляем, если вычитание - отнимаем; при возведении в куб правило такое: если у нас куб суммы, то все знаки «+», а если куб разности, то знаки чередуются: « » - « » - « » - « ».
Всё перечисленное, кроме зависимости степеней при умножении членов, изображено на рисунке.
Потренируемся? Раскрой скобки в следующих выражениях:
Сравни полученные выражения:
Разность и сумма кубов
Рассмотрим последнюю пару формул разность и сумму кубов.
Как мы помним, в разности квадратов у нас идет перемножение разности и суммы данных чисел одно на другое. В разности кубов и в сумме кубов также имеется две скобки:
1 скобка - разность (или сумма) чисел в первой степени (в зависимости от того, разность или сумму кубов мы раскрываем);
2 скобка - неполный квадрат (присмотрись: если бы мы вычитали (или прибавляли) удвоенное произведение чисел, был бы квадрат), знак при перемножении чисел противоположный знаку изначального выражения.
Для закрепления темы решим несколько примеров:
Сравни полученные выражения:
Тренировка
Ответы:
Подведем итоги:
Существует 7 формул сокращенного умножения:
ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ
Формулы сокращенного умножения - это формулы, зная которые можно избежать выполнения некоторых стандартных действий при упрощении выражений или разложении многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть!
- Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
- Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
- Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:
- Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения:
- Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения:
- Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений:
- Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений:
Теперь докажем все эти формулы.
Формулы сокращенного умножения. Доказательство.
1. .
Возвести выражение в квадрат - значит умножить его само на себя:
.
Раскроем скобки и приведем подобные:
2. .
Делаем то же самое: умножаем разность саму на себя, раскрываем скобки и приводим подобные:
.
3. .
Возьмем выражение в правой части и раскроем скобки:
.
4. .
Число в кубе можно представить как это число умноженное на свой квадрат:
Аналогично:
В разности кубов знаки чередуются.
6. .
.
7. .
Раскроем скобки в правой части:
.
Применение формул сокращенного умножения при решении примеров
Пример 1:
Найдите значение выражений:
Решение:
- Используем формулу квадрат суммы: .
- Представим это число в виде разности и используем формулу квадрата разности: .
Пример 2:
Найдите значение выражения: .
Решение:
Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим:
Пример 3:
Упростите выражение:
Решение двумя способами:
Воспользуемся формулами квадрат суммы и квадрат разности:
II способ.
Воспользуемся формулой разности квадратов двух выражений:
ТЕПЕРЬ ТВОЕ СЛОВО...
Я рассказал все, что знаю о формулах сокращенного умножения.
Расскажи теперь ты будешь ли ты ими пользоваться? Если нет, то почему?
Как тебе эта статья?
Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.
Напиши в комментариях. Мы читаем все комментарии и отвечаем на все.
И удачи на экзаменах!