Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси (в нашем примере, это радиус).

Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси и координата по оси. А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме? Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник. На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник. Он прямоугольный, так как является перпендикуляром к оси.

Чему равен из треугольника? Всё верно. Кроме того, нам ведь известно, что - это радиус единичной окружности, а значит, . Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

А чему равен из треугольника? Ну конечно, ! Подставим значение радиуса в эту формулу и получим:

Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка, принадлежащая окружности? Ну что, никак? А если сообразить, что и - это просто числа? Какой координате соответствует? Ну, конечно, координате! А какой координате соответствует? Всё верно, координате! Таким образом, точка.

А чему тогда равны и? Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что, а.

А что, если угол будет больше? Вот, к примеру, как на этом рисунке:

Что же изменилось в данном примере? Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику. Рассмотрим прямоугольный треугольник: угол (как прилежащий к углу). Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла? Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:

Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате; значение косинуса угла - координате; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям. Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.

Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора - вдоль положительного направления оси. До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке? Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным. Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы , а при вращении по часовой стрелке - отрицательные.

Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет или. А можно повернуть радиус-вектор на или на? Ну конечно, можно! В первом случае, таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении или.

Во втором случае, то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении или.

Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на или (где - любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.

Ниже на рисунке изображён угол. Это же изображение соответствует углу и т.д. Этот список можно продолжить до бесконечности. Все эти углы можно записать общей формулой или (где - любое целое число)

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:

Вот тебе в помощь единичная окружность:

Возникли трудности? Тогда давай разбираться. Итак, мы знаем, что:

Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла. Ну что же, начнём по порядку: углу в соответствует точка с координатами, следовательно:

Не существует;

Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в соответствуют точки с координатами, соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

Ответы:

Не существует

Не существует

Не существует

Не существует

Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

Нет необходимости помнить все эти значения. Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

А вот значения тригонометрических функций углов в и, приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить :

Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений :

Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трёх мер угла (), а также значение тангенса угла в. Зная эти значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком -значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:

Зная это можно восстановить значения для. Числитель « » будет соответствовать, а знаменатель « » соответствует. Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего значения из таблицы.

Координаты точки на окружности

А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота ?

Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки .

Вот, к примеру, перед нами такая окружность:

Нам дано, что точка - центр окружности. Радиус окружности равен. Необходимо найти координаты точки, полученной поворотом точки на градусов.

Как видно из рисунка, координате точки соответствует длина отрезка. Длина отрезка соответствует координате центра окружности, то есть равна. Длину отрезка можно выразить, используя определение косинуса:

Тогда имеем, что для точки координата.

По той же логике находим значение координаты y для точки. Таким образом,

Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:

Координаты центра окружности,

Радиус окружности,

Угол поворота радиуса вектора.

Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:

Ну что, попробуем эти формулы на вкус, поупражняясь в нахождении точек на окружности?

1. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на.

2. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на.

3. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на.

4. Точка - центр окружности. Радиус окружности равен. Необходимо найти координаты точки, полученной поворотом начального радиус-вектора на.

5. Точка - центр окружности. Радиус окружности равен. Необходимо найти координаты точки, полученной поворотом начального радиус-вектора на.

Возникли проблемы в нахождении координат точки на окружности?

Реши эти пять примеров (или разберись хорошо в решении) и ты научишься их находить!

1.

Можно заметить, что. А мы ведь знаем, что соответствует полному обороту начальной точки. Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на. Зная это, найдём искомые координаты точки:

2. Окружность единичная с центром в точке, значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:

Можно заметить, что. Мы знаем, что соответствует двум полным оборотам начальной точки. Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на. Зная это, найдём искомые координаты точки:

Синус и косинус - это табличные значения. Вспоминаем их значения и получаем:

Таким образом, искомая точка имеет координаты.

3. Окружность единичная с центром в точке, значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:

Можно заметить, что. Изобразим рассматриваемый пример на рисунке:

Радиус образует с осью углы, равные и. Зная, что табличные значения косинуса и синуса равны, и определив, что косинус здесь принимает отрицательное значение, а синус положительное, имеем:

Подробней подобные примеры разбираются при изучении формул приведения тригонометрических функций в теме .

Таким образом, искомая точка имеет координаты.

4.

Угол поворота радиуса вектора (по условию,)

Для определения соответствующих знаков синуса и косинуса построим единичную окружность и угол:

Как можно заметить, значение, то есть положительно, а значение, то есть - отрицательно. Зная табличные значения соответствующих тригонометрических функций, получаем, что:

Подставим полученные значения в нашу формулу и найдём координаты:

Таким образом, искомая точка имеет координаты.

5. Для решения данной задачи воспользуемся формулами в общем виде, где

Координаты центра окружности (в нашем примере,

Радиус окружности (по условию,)

Угол поворота радиуса вектора (по условию,).

Подставим все значения в формулу и получим:

и - табличные значения. Вспоминаем и подставляем их в формулу:

Таким образом, искомая точка имеет координаты.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Синус угла - это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

Косинус угла - это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

Тангенс угла - это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

Котангенс угла - это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

Глава I. Решение прямоугольных треугольников

§3 (37). Основные соотношения и задачи

В тригонометрии рассматриваются задачи, в которых требуется вычислить те или иные элементы треугольника по достаточному количеству численных значений заданных его элементов. Эти задачи обычно называются задачами на решение треугольника.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, С - прямой угол, а и b - катеты, противолежащие острым углам А и В, с - гипотенуза (черт. 3);

тогда имеем:

Косинус острого угла есть отношение прилежащего катета к гипотенузе:

соs A = b / c , cos В = a / c (1)

Синус острого угла есть отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A = a / c , sin B = b / c (2)

Тангенс острого угла есть отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A = a / b , tg B = b / a (3)

Котангенс острого угла есть отношение прилежащего катета к противолежащему:

ctg A = b / a , ctg B = a / b (4)

Сумма острых углов равна 90° .

Основные задачи на прямоугольные треугольники.

Задача I. Даны гипотенуза и один из острых углов, вычислить прочие элементы.

Решение. Пусть даны с и А. Угол В = 90° - А также известен; катеты находятся из формул (1) и (2).

а = с sin A, b = с cos А.

Задача II . Даны катет и один из острых углов, вычислить прочие элементы.

Решение. Пусть даны а и A. Угол В = 90° - А известен; из формул (3) и (2) найдём:

b = a tg B (= a ctg A), с = a / sin A

Задача III. Даны катет и гипотенуза, вычислить остальные элементы.

Решение. Пусть даны а и с (причём а < с ). Из равенств (2) найдём угол А:

sin A = a / c и A = arc sin a / c ,

и, наконец, катет b :

b = с cos А (= с sin В).

Задача IV. Даны катеты а и b найти прочие элементы.

Решение. Из равенств (3) найдём острый угол, например А:

tg А = a / b , А = arc tg a / b ,

угол В = 90° - А,

гипотенуза: c = a / sin A (= b / sin B ; = a / cos B)

Ниже приводится пример решения прямоугольного треугольника при помощи логарифмических таблиц*.

* Вычисление элементов прямоугольных треугольников по натуральным таблицам известно из курса геометрии VIII класса.

При вычислениях по логарифмическим таблицам следует выписать соответствующие формулы, прологарифмировать их, подставить числовые данные, по таблицам найти требуемые логарифмы известных элементов (или их тригонометрических функций), вычислить логарифмы искомых элементов (или их тригонометрических функций) и по таблицам найти искомые элементы.

Пример. Даны катет а = 166,1 и гипотенуза с = 187,3; вычислить острые углы, другой катет и площадь.

Решение. Имеем:

sin A = a / c ; lg sin A = lg a - lg c ;

A ≈ 62°30", В ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30".

Вычисляем катет b :

b = a tg B ; lg b = lg b + lg tg B ;

Площадь треугольника можно вычислить по формуле

S = 1 / 2 ab = 0,5 a 2 tg В;

Для контроля подсчитаем угол А на логарифмической линейке:

А = arc sin a / c = arc sin 166 / 187 ≈ 62°.

Примечание. Катет b можно вычислить по теореме Пифагора, пользуясь таблицами квадратов и квадратных корней (табл. III и IV):

b = √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.

Расхождение с ранее полученным значением b= 86,48 объясняется погрешностями таблиц, в которых даются приближённые значения функций. Результат 86,54 является более точным.

Синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin α.

Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos α.

Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg α.

Котангенс острого угла α – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg α.

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины угла.

Правила:

Основные тригонометрические тождества в прямоугольном треугольнике:

(α – острый угол, противолежащий катету b и прилежащий к катету a . Сторона с – гипотенуза. β – второй острый угол).

b sin α = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cos α = - c	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
b tg α = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin 2 α
a ctg α = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sin α tg α = -- cos α

При возрастании острого угла sin α и tg α возрастают, а cos α убывает.

Для любого острого угла α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Пример-пояснение :

Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.

Выясним синус угла А и косинус угла В.

Решение .

1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:

В = 90º – 30º = 60º.

2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:

BC 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

В итоге получается:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Из этого следует, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла – и наоборот. Именно это и означают наши две формулы:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Убедимся в этом еще раз:

1) Пусть α = 60º. Подставив значение α в формулу синуса, получим:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Пусть α = 30º. Подставив значение α в формулу косинуса, получим:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(Подробнее о тригонометрии - см.раздел Алгебра)

ЕГЭ на 4? А не лопнешь от счастья?

Вопрос, как говорится, интересный... Можно, можно сдать на 4! И при этом не лопнуть... Главное условие - заниматься регулярно. Здесь - основная подготовка к ЕГЭ по математике. Со всеми секретами и тайнами ЕГЭ, о которых Вы не прочитаете в учебниках... Изучайте этот раздел, решайте больше заданий из различных источников - и всё получится! Предполагается, что базовый раздел "С тебя и тройки хватит!" у вас затруднений не вызывает. Но если вдруг... По ссылочкам-то ходите, не ленитесь!

И начнём мы с великой и ужасной темы.

Тригонометрия

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Эта тема доставляет массу проблем ученикам. Считается одной из самых суровых. Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс? Что такое числовая окружность? Стоит задать эти безобидные вопросы, как человек бледнеет и пытается увести разговор в сторону… А зря. Это простые понятия. И ничем эта тема не сложнее других. Просто нужно с самого начала чётко уяснить ответы на эти самые вопросы. Это очень важно. Если уяснили – тригонометрия вам понравится. Итак,

Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?

Начнём с глубокой древности. Не волнуйтесь, все 20 веков тригонометрии мы пройдём минут за 15. И, незаметно для себя, повторим кусочек геометрии из 8 класса.

Нарисуем прямоугольный треугольник со сторонами а, в, с и углом х . Вот такой.

Напомню, что стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами. а и в – катеты. Их два. Оставшаяся сторона называется гипотенузой. с – гипотенуза.

Треугольник и треугольник, подумаешь! Что с ним делать? А вот древние люди знали, что делать! Повторим их действия. Измерим сторону в . На рисунке специально клеточки нарисованы, как в заданиях ЕГЭ бывает. Сторона в равна четырём клеточкам. Ладно. Измерим сторону а. Три клеточки.

А теперь поделим длину стороны а на длину стороны в . Или, как ещё говорят, возьмём отношение а к в . а/в = 3/4.

Можно наоборот, поделить в на а. Получим 4/3. Можно в поделить на с. Гипотенузу с по клеточкам не посчитать, но она равна 5. Получим в/с = 4/5. Короче, можно делить длины сторон друг на друга и получать какие-то числа.

Ну и что? Какой смысл в этом интересном занятии? Пока никакого. Бестолковое занятие, прямо скажем.)

А теперь сделаем вот что. Увеличим треугольник. Продлим стороны в и с , но так, чтобы треугольник остался прямоугольным. Угол х , естественно, не меняется. Чтобы это увидеть, наведите курсор мышки на картинку, или коснитесь её (если у вас - планшет). Стороны а, в и с превратятся в m, n, k , и, понятное дело, длины сторон изменятся.

А вот их отношения – нет!

Отношение а/в было: а/в = 3/4, стало m/n = 6/8 = 3/4. Отношения других соответствующих сторон также не изменятся . Можно как угодно менять длины сторон в прямоугольном треугольнике, увеличивать, уменьшать, не меняя угла х – отношения соответствующих сторон не изменятся . Можно проверить, а можно поверить древним людям на слово.

А вот это уже очень важно! Отношения сторон в прямоугольном треугольнике никак не зависят от длин сторон (при одном и том же угле). Это настолько важно, что отношения сторон заслужили свои специальные названия. Свои имена, так сказать.) Знакомьтесь.

Что такое синус угла х ? Это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sinx = а/с

Что такое косинус угла х ? Это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

с osx = в/с

Что такое тангенс угла х ? Это отношение противолежащего катета к прилежащему:

tgx = а/в

Что такое котангенс угла х ? Это отношение прилежащего катета к противолежащему:

ctgx = в/а

Всё очень просто. Синус, косинус, тангенс и котангенс – это некоторые числа. Безразмерные. Просто числа. Для каждого угла – свои.

Зачем я так занудно всё повторяю? Затем, что это надо запомнить . Железно запомнить. Запоминание можно облегчить. Фраза «Начнём издалека…» знакома? Вот и начинайте издалека.

Синус угла – это отношение дальнего от угла катета к гипотенузе. Косинус – отношение ближнего к гипотенузе.

Тангенс угла – это отношение дальнего от угла катета к ближнему. Котангенс – наоборот.

Уже проще, правда?

Ну а если запомнить, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а в синусе и косинусе гипотенуза появляется, то всё станет совсем просто.

Всю эту славную семейку – синус, косинус, тангенс и котангенс называют ещё тригонометрическими функциями .

А теперь вопрос на соображение.

Почему мы говорим синус, косинус, тангенс и котангенс угла? Речь-то идёт об отношениях сторон, вроде... При чём здесь угол?

Смотрим на вторую картинку. Точно такую же, как и первая.

Наведите мышку на картинку. Я изменил угол х . Увеличил его с х до Х. Все отношения поменялись! Отношение а/в было 3/4, а соответствующее отношение t/в стало 6/4.

И все остальные отношения стали другими!

Стало быть, отношения сторон никак не зависят от их длин (при одном угле х), но резко зависят от этого самого угла! И только от него. Поэтому термины синус, косинус, тангенс и котангенс относятся к углу. Угол здесь - главный.

Надо железно уяснить, что угол неразрывно связан со своими тригонометрическими функциями. У каждого угла есть свой синус и косинус. И почти у каждого - свой тангенс и котангенс. Это важно. Считается, что если нам дан угол, то его синус, косинус, тангенс и котангенс нам известны ! И наоборот. Дан синус, или любая другая тригонометрическая функция – значит, мы знаем угол.

Существуют специальные таблицы, где для каждого угла расписаны его тригонометрические функции. Таблицы Брадиса называются. Они очень давно составлены. Когда ещё не было ни калькуляторов, ни компьютеров...

Конечно, тригонометрические функции всех углов запомнить нельзя. Вы обязаны знать их только для нескольких углов, об этом дальше будет. Но заклинание «знаю угол – значит, знаю его тригонометрические функции» - работает всегда!

Вот мы и повторили кусочек геометрии из 8-го класса. Оно нам надо для ЕГЭ? Надо. Вот вам типичная задачка из ЕГЭ. Для решения которой достаточно 8-го класса. Дана картинка:

Всё. Больше никаких данных нет. Надо найти длину катета ВС.

Клеточки слабо помогают, треугольник как-то неправильно расположен.... Специально, поди… Из информации есть длина гипотенузы. 8 клеток. Ещё зачем-то дан угол.

Вот здесь надо сразу вспоминать про тригонометрию. Есть угол, значит, мы знаем все его тригонометрические функции. Какую функцию из четырёх в дело пустить? А посмотрим-ка, что нам известно? Нам известны гипотенуза, угол, а найти надо прилежащий к этому углу катет! Ясно дело, косинус нужно в дело запускать! Вот и запускаем. Просто пишем, по определению косинуса (отношение прилежащего катета к гипотенузе):

cosC = ВС/8

Угол С у нас 60 градусов, его косинус равен 1/2. Это знать надо, безо всяких таблиц! Стало быть:

1/2 = ВС/8

Элементарное линейное уравнение. Неизвестное – ВС . Кто подзабыл, как решать уравнения , прогуляйтесь по ссылке, остальные решают:

ВС = 4

Когда древние люди поняли, что у каждого угла имеется свой комплект тригонометрических функций, у них возник резонный вопрос. А не связаны ли как-нибудь синус, косинус, тангенс и котангенс между собой? Так, чтобы зная одну функцию угла, можно было найти остальные? Не вычисляя сам угол?

Вот такие они были неугомонные...)

Связь между тригонометрическими функциями одного угла.

Конечно, синус, косинус, тангенс и котангенс одного и того же угла связаны между собой. Всякая связь между выражениями задаётся в математике формулами. В тригонометрии формул - колоссальное количество. Но здесь мы рассмотрим самые основные. Эти формулы так и называются: основные тригонометрические тождества. Вот они:

Эти формулы надо знать железно. Без них вообще в тригонометрии делать нечего. Из этих основных тождеств вытекают ещё три вспомогательных тождества:

Сразу предупреждаю, что три последние формулы быстро выпадают из памяти. Почему-то.) Можно, конечно, вывести эти формулы из первых трёх. Но, в трудную минуту... Сами понимаете.)

В стандартных заданиях, типа тех, что приведены ниже, есть способ обойтись без этих незапоминающихся формул. И резко уменьшить ошибки по забывчивости, да и в вычислениях тоже. Этот практический приём - в Разделе 555, урок "Связь между тригонометрическими функциями одного угла."

В каких заданиях и как используются основные тригонометрические тождества? Самое популярное задание - найти какую-нибудь функцию угла, если дана другая. В ЕГЭ такое задание из года в год присутствует.) Например:

Найти значение sinx, если х - острый угол, а cosx=0,8.

Задачка почти элементарная. Ищем формулу, где имеются синус и косинус. Вот она эта формула:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Подставляем сюда известную величину, а именно, 0,8 вместо косинуса:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Ну и считаем, как обычно:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x = 1 - 0,64

Вот, практически и всё. Мы вычислили квадрат синуса, осталось извлечь квадратный корень и ответ готов! Корень из 0,36 будет 0,6.

Задачка почти элементарная. Но словечко "почти" здесь не зря стоит... Дело в том, что ответ sinx= - 0,6 тоже подходит... (-0,6) 2 тоже 0,36 будет.

Два разных ответа получаются. А нужен один. Второй - неправильный. Как быть!? Да как обычно.) Внимательно прочитать задание. Там зачем-то написано: ...если х - острый угол... А в заданиях каждое слово смысл имеет, да... Эта фраза - и есть дополнительная информация к решению.

Острый угол - это угол меньше 90°. А у таких углов все тригонометрические функции - и синус, и косинус, и тангенс с котангенсом - положительные. Т.е. отрицательный ответ мы здесь просто отбрасываем. Имеем право.

Собственно, восьмиклассникам такие тонкости не нужны. Они работают только с прямоугольными треугольниками, где углы могут быть только острые. И не знают, счастливые, что бывают и отрицательные углы, и углы в 1000°... И у всех этих кошмарных углов есть свои тригонометрические функции и с плюсом, и с минусом...

А вот старшеклассникам без учёта знака - никак. Многие знания умножают печали, да...) И для правильного решения в задании обязательно присутствует дополнительная информация (если она необходима). Например, она может быть дана такой записью:

Или как-нибудь иначе. В примерах ниже увидите.) Для решения таких примеров нужно знать, в какую четверть попадает заданный угол х и какой знак имеет нужная тригонометрическая функция в этой четверти.

Эти азы тригонометрии рассмотрены в уроках что такое тригонометрический круг, отсчёт углов на этом круге, радианная мера угла. Иногда требуется знать и таблицу синусов косинусов тангенсов и котангенсов.

Итак, отметим самое главное:

Практические советы:

1. Запомните определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Очень пригодится.

2. Чётко усваиваем: синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны с углами. Знаем одно - значит, знаем и другое.

3. Чётко усваиваем: синус, косинус, тангенс и котангенс одного угла связаны между собой основными тригонометрическими тождествами. Знаем одну функцию - значит, можем (при наличии необходимой дополнительной информации) вычислить все остальные.

А теперь порешаем, как водится. Сначала задания в объёме 8-го класса. Но и старшеклассникам тоже можно...)

1. Вычислить значение tgА, если ctgА = 0,4.

2. β - угол в прямоугольном треугольнике. Найти значение tgβ, если sinβ = 12/13.

3. Определить синус острого угла х, если tgх = 4/3.

4. Найти значение выражения:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Найти значение выражения:

(1-cosx)(1+cosx), если sinх = 0,3

Ответы (через точку с запятой, в беспорядке):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Получилось? Отлично! Восьмиклассники могут уже пройти за своими пятёрками.)

Не всё получилось? Задания 2 и 3 как-то не очень...? Не беда! Есть один красивый приём для подобных заданий. Всё решается, практически, вообще без формул! Ну и, следовательно, без ошибок. Этот приём в уроке: "Связь между тригонометрическими функциями одного угла" в Разделе 555 описан. Там же разобраны и все остальные задания.

Это были задачки типа ЕГЭ, но в урезанном варианте. ЕГЭ - лайт). А сейчас почти такие же задания, но в полноценном егэшном виде. Для обременённых знаниями старшеклассников.)

6. Найти значение tgβ, если sinβ = 12/13, а

7. Определить sinх, если tgх = 4/3, а х принадлежит интервалу (- 540°; - 450°).

8. Найти значение выражения sinβ·cosβ, если ctgβ = 1.

Ответы (в беспорядке):

0,8; 0,5; -2,4.

Здесь в задаче 6 угол задан как-то не очень однозначно... А в задаче 8 и вовсе не задан! Это специально). Дополнительная информация не только из задания берётся, но и из головы.) Зато уж если решили - одно верное задание гарантировано!

А если не решили? Гм... Ну, тут Раздел 555 поможет. Там решения всех этих заданий подробно расписаны, трудно не разобраться.

В этом уроке дано очень ограниченное понятие тригонометрических функций. В пределах 8-го класса. А у старших остаются вопросы...

Например, если угол х (смотрите вторую картинку на этой странице) - сделать тупым!? Треугольник-то вообще развалится! И как быть? Ни катета не будет, ни гипотенузы... Пропал синус...

Если бы древние люди не нашли выход из этого положения, не было бы у нас сейчас ни мобильников, ни TV, ни электричества. Да-да! Теоретическая основа всех этих вещей без тригонометрических функций - ноль без палочки. Но древние люди не подвели. Как они выкрутились - в следующем уроке.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Отношение противолежащего катета к гипотенузе называют синусом острого угла прямоугольного треугольника.

\sin \alpha = \frac{a}{c}

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к гипотенузе называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника.

\cos \alpha = \frac{b}{c}

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение противолежащего катета к близлежащему катету называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

tg \alpha = \frac{a}{b}

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к противолежащему катету называют котангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

ctg \alpha = \frac{b}{a}

Синус произвольного угла

Ордината точки на единичной окружности , которой соответствует угол \alpha называют синусом произвольного угла поворота \alpha .

\sin \alpha=y

Косинус произвольного угла

Абсцисса точки на единичной окружности, которой соответствует угол \alpha называют косинусом произвольного угла поворота \alpha .

\cos \alpha=x

Тангенс произвольного угла

Отношение синуса произвольного угла поворота \alpha к его косинусу называют тангенсом произвольного угла поворота \alpha .

tg \alpha = y_{A}

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Котангенс произвольного угла

Отношение косинуса произвольного угла поворота \alpha к его синусу называют котангенсом произвольного угла поворота \alpha .

ctg \alpha =x_{A}

ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Пример нахождения произвольного угла

Если \alpha — некоторый угол AOM , где M — точка единичной окружности, то

\sin \alpha=y_{M} , \cos \alpha=x_{M} , tg \alpha=\frac{y_{M}}{x_{M}} , ctg \alpha=\frac{x_{M}}{y_{M}} .

Например, если \angle AOM = -\frac{\pi}{4} , то: ордината точки M равна -\frac{\sqrt{2}}{2} , абсцисса равна \frac{\sqrt{2}}{2} и потому

\sin \left (-\frac{\pi}{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2} ;

\cos \left (\frac{\pi}{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2} ;

tg ;

ctg \left (-\frac{\pi}{4} \right)=-1 .

Таблица значений синусов косинусов тангенсов котангенсов

Значения основных часто встречающихся углов приведены в таблице:

	0^{\circ} (0)	30^{\circ}\left(\frac{\pi}{6}\right)	45^{\circ}\left(\frac{\pi}{4}\right)	60^{\circ}\left(\frac{\pi}{3}\right)	90^{\circ}\left(\frac{\pi}{2}\right)	180^{\circ}\left(\pi\right)	270^{\circ}\left(\frac{3\pi}{2}\right)	360^{\circ}\left(2\pi\right)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac{\sqrt 2}{2}	\frac{\sqrt 3}{2}	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac{\sqrt 3}{2}	\frac{\sqrt 2}{2}	\frac12	0	−1	0	1
tg \alpha	0	\frac{\sqrt 3}{3}	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg \alpha	—	\sqrt3	1	\frac{\sqrt 3}{3}	0	—	0	—