Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя , преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:

`\frac {sin^2 x}{cos^2 x}+\frac{sin x cos x}{cos^2 x} — \frac{2 cos^2 x}{cos^2 x}=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt {a^2+b^2}`:

`\frac a{sqrt {a^2+b^2}} sin x +` `\frac b{sqrt {a^2+b^2}} cos x =` `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}`.

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a{sqrt {a^2+b^2}}=cos \varphi`, ` \frac b{sqrt {a^2+b^2}} =sin \varphi`, `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}=C`, тогда:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt {3^2+4^2}`, получим:

`\frac {3 sin x} {sqrt {3^2+4^2}}+` `\frac{4 cos x}{sqrt {3^2+4^2}}=` `\frac 2{sqrt {3^2+4^2}}`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `\frac {sin x}{1+cos x}=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {(1-cos x)(1+cos x)}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {1-cos^2 x}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}-` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}=0`

`\frac {sin x-sin^2 x}{1+cos x}=0`

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)

Линия УМК Г.К. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (баз.)

Как научить решать тригонометрические уравнения и неравенства: методика преподавания

Курс математики корпорации «Российский учебник», авторства Георгия Муравина и Ольги Муравиной, предусматривает постепенный переход к решению тригонометрических уравнений и неравенств в 10 классе, а также продолжение их изучения в 11 классе. Представляем вашему вниманию этапы перехода к теме с выдержками из учебника «Алгебра и начало математического анализа» (углубленный уровень).

1. Синус и косинус любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример задания. Найти приближенно углы, косинусы которых равны 0,8.

Решение. Косинус - это абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Все точки с абсциссами, равными 0,8, принадлежат прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку C (0,8; 0). Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: P α ° и P β ° , симметричных относительно оси абсцисс.

С помощью транспортира находим, что угол α° приближенно равен 37°. Значит, общий вид углов поворота с конечной точкой P α°:

α° ≈ 37° + 360°n , где n - любое целое число.

В силу симметрии относительно оси абсцисс точка P β ° - конечная точка поворота на угол –37°. Значит, для нее общий вид углов поворота:

β° ≈ –37° + 360°n , где n - любое целое число.

Ответ: 37° + 360°n , –37° + 360°n , где n - любое целое число.

Пример задания. Найти углы, синусы которых равны 0,5.

Решение. Синус - это ордината соответствующей точки единичной окружности. Все точки с ординатами, равными 0,5, принадлежат прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку D (0; 0,5).

Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: P φ и P π–φ , симметричных относительно оси ординат. В прямоугольном треугольнике OKP φ катет KP φ равен половине гипотенузы OP φ, значит,

Общий вид углов поворота с конечной точкой P φ :

где n - любое целое число. Общий вид углов поворота с конечной точкой P π–φ :

где n - любое целое число.

Ответ: где n - любое целое число.

2. Тангенс и котангенс любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример 2.

Пример задания. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.

Решение. Отметим на оси тангенсов точку C с ординатой, равной –1,2, и проведем прямую OC . Прямая OC пересекает единичную окружность в точках P α ° и P β° - концах одного и того же диаметра. Углы, соответствующие этим точкам, отличаются друг от друга на целое число полуоборотов, т.е. на 180°n (n - целое число). С помощью транспортира находим, что угол P α° OP 0 равен –50°. Значит, общий вид углов, тангенс которых равен –1,2, следующий: –50° + 180°n (n - целое число)

Ответ: –50° + 180°n , n ∈ Z.

По синусу и косинусу углов 30°, 45° и 60° легко найти их тангенсы и котангенсы. Например,

Перечисленные углы довольно часто встречаются в разных задачах, поэтому полезно запомнить значения тангенса и котангенса этих углов.

3. Простейшие тригонометрические уравнения

Вводятся обозначения: arcsin α, arccos α, arctg α, arcctg α. Не рекомендуется торопиться с введением объединенной формулы. Две серии корней значительно удобнее записывать, особенно, когда нужно отбирать корни на интервале.

При изучении темы «простейшие тригонометрические уравнения», уравнения чаще всего сводятся к квадратам.

4. Формулы приведения

Формулы приведения являются тождествами, т. е. они верны для любых допустимых значений φ . Анализируя полученную таблицу, можно заметить, что:

1) знак в правой части формулы совпадает со знаком приводимой функции в соответствующей четверти, если считать φ острым углом;

2) название меняют только функции углов и

	φ + 2πn

5. Свойства и график функции y = sin x

Простейшие тригонометрические неравенства решаются либо по графику, либо на окружности. При решении тригонометрического неравенства на окружности важно не перепутать, какую точку указывать первой.

6. Свойства и график функции y = cos x

Задачу построения графика функции y = cos x можно свести к построению графика функции y = sin x . Действительно, поскольку график функции y = cos x можно получить из графика функции y = sin x сдвигом последнего вдоль оси абсцисс влево на

7. Свойства и графики функций y = tg x и y = ctg x

Область определения функции y = tg x включает в себя все числа, кроме чисел вида где n ∈ Z . Как и при построении синусоиды, сначала постараемся получить график функции y = tg x на промежутке

В левом конце этого промежутка тангенс равен нулю, а при приближении к правому концу значения тангенса неограниченно увеличиваются. Графически это выглядит так, как будто график функции y = tg x прижимается к прямой уходя вместе с ней неограниченно вверх.

8. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

Равенства и выражают соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента φ. С их помощью, зная синус и косинус некоторого угла, можно найти его тангенс и котангенс. Из этих равенств легко получить, что тангенс и котангенс связаны между собой следующим равенством.

tg φ · ctg φ = 1

Есть и другие зависимости между тригонометрическими функциями.

Уравнение единичной окружности с центром в начале координат x 2 + y 2 = 1 связывает абсциссу и ординату любой точки этой окружности.

Основное тригонометрическое тождество

cos 2 φ + sin 2 φ = 1

9. Синус и косинус суммы и разности двух углов

Формула косинуса суммы

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

Формула косинуса разности

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Формула синуса разности

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Формула синуса суммы

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

10. Тангенс суммы и тангенс разности двух углов

Формула тангенса суммы

Формула тангенса разности

Учебник входит в УМК по математике для 10–11 классов, изучающих предмет на базовом уровне. Теоретический материал разделен на обязательный и дополнительный, система заданий дифференцирована по уровню сложности, каждый пункт главы завершается контрольными вопросами и заданиями, а каждая глава - домашней контрольной работой. В учебник включены темы проектов и сделаны ссылки на интернет-ресурсы.

11. Тригонометрические функции двойного угла

Формула тангенса двойного угла

cos2α = 1 – 2sin 2 α cos2α = 2cos 2 α – 1

Пример задания. Решить уравнение

Решение.

13. Решение тригонометрических уравнений

В большинстве случаев исходное уравнение в процессе решения сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям. Однако для тригонометрических уравнений не существует единого метода решения. В каждом конкретном случае успех зависит от знания тригонометрических формул и от умения выбрать из них нужные. При этом обилие различных формул иногда делает этот выбор довольно трудным.

Уравнения, сводящиеся к квадратам

Пример задания. Решить уравнение 2 cos 2 x + 3 sinx = 0

Решение . С помощью основного тригонометрического тождества это уравнение можно свести к квадратному относительно sinx :

2cos 2 x + 3sinx = 0, 2(1 – sin 2 x ) + 3sinx = 0,

2 – 2sin 2 x + 3sinx = 0, 2sin 2 x – 3sinx – 2 = 0

Введем новую переменную y = sin x , тогда уравнение примет вид: 2y 2 – 3y – 2 = 0.

Корни этого уравнения y 1 = 2, y 2 = –0,5.

Возвращаемся к переменной x и получаем простейшие тригонометрические уравнения:

1) sin x = 2 – это уравнение не имеет корней, так как sin x < 2 при любом значении x ;

2) sin x = –0,5,

Ответ :

Однородные тригонометрические уравнения

Пример задания. Решить уравнение 2sin 2 x – 3sinx cosx – 5cos 2 x = 0.

Решение. Рассмотрим два случая:

1) cosx = 0 и 2) cosx ≠ 0.

Случай 1. Если cos x = 0, то уравнение принимает вид 2sin 2 x = 0, откуда sinx = 0. Но это равенство не удовлетворяет условию cosx = 0, так как ни при каком x косинус и синус одновременно в нуль не обращаются.

Случай 2. Если cos x ≠ 0, то можно разделить уравнение на cos 2 x «Алгебра и начало математического анализа. 10 класс» , как и многие другие издания, можно на платформе LECTA. Для этого воспользуйтесь предложением .

#ADVERTISING_INSERT#

Требует знания основных формул тригонометрии - сумму квадратов синуса и косинуса, выражение тангенса через синус и косинус и другие. Для тех, кто их забыл или не знает рекомендуем прочитать статью " ".
Итак, основные тригонометрические формулы мы знаем, пришло время использовать их на практике. Решение тригонометрических уравнений при правильном подходе – довольно увлекательное занятие, как, например, собрать кубик Рубика.

Исходя из самого названия видно, что тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком тригонометрической функции.
Существуют так называемые простейшие тригонометрические уравнения. Вот как они выглядят: sinх = а, cos x = a, tg x = a. Рассмотрим, как решить такие тригонометрические уравнения , для наглядности будем использовать уже знакомый тригонометрический круг.

sinх = а

cos x = a

tg x = a

cot x = a

Любое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее тригонометрическое уравнение.
Существует 7 основных методов, с помощью которых решаются тригонометрические уравнения.

1. Метод замены переменной и подстановки

Решить уравнение 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Используя формулы приведения получим:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Заменим cos(x + /6) на y для упрощения и получаем обычное квадратное уравнение:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Корни которого y 1 = 1, y 2 = 1/2

Теперь идем в обратном порядке

Подставляем найденные значения y и получаем два варианта ответа:

2. Решение тригонометрических уравнений через разложение на множители

Как решить уравнение sin x + cos x = 1 ?

Перенесем все влево, чтобы справа остался 0:

sin x + cos x – 1 = 0

Воспользуемся вышерассмотренными тождествами для упрощения уравнения:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Делаем разложение на множители:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Получаем два уравнения

3. Приведение к однородному уравнению

Уравнение является однородным относительно синуса и косинуса, если все его члены относительно синуса и косинуса одной и той же степени одного и того же угла. Для решения однородного уравнения, поступают следующим образом:

а) переносят все его члены в левую часть;

б) выносят все общие множители за скобки;

в) приравнивают все множители и скобки к 0;

г) в скобках получено однородное уравнение меньшей степени, его в свою очередь делят на синус или косинус в старшей степени;

д) решают полученное уравнение относительно tg.

Решить уравнение 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Воспользуемся формулой sin 2 x + cos 2 x = 1 и избавимся от открытой двойки справа:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Делим на cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Заменяем tg x на y и получаем квадратное уравнение:

y 2 + 4y +3 = 0, корни которого y 1 =1, y 2 = 3

Отсюда находим два решения исходного уравнения:

x 2 = arctg 3 + k

4. Решение уравнений, через переход к половинному углу

Решить уравнение 3sin x – 5cos x = 7

Переходим к x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Пререносим все влево:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Делим на cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Введение вспомогательного угла

Для рассмотрения возьмем уравнение вида: a sin x + b cos x = c ,

где a, b, c – некоторые произвольные коэффициенты, а x – неизвестное.

Обе части уравнения разделим на :



Теперь коэффициенты уравнения согласно тригонометрическим формулам обладают свойствами sin и cos, а именно: их модуль не более 1 и сумма квадратов = 1. Обозначим их соответственно как cos и sin , где – это и есть так называемый вспомогательный угол. Тогда уравнение примет вид:

cos * sin x + sin * cos x = С

или sin(x + ) = C

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения будет

х = (-1) k * arcsin С - + k, где



Следует отметить, что обозначения cos и sin взаимозаменяемые.

Решить уравнение sin 3x – cos 3x = 1

В этом уравнении коэффициенты:

а = , b = -1, поэтому делим обе части на = 2

На этом уроке мы рассмотрим основные тригонометрические функции, их свойства и графики , а также перечислим основные типы тригонометрических уравнений и систем . Кроме этого, укажем общие решения простейших тригонометрических уравнений и их частные случаи .

Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов задания В5 и С1 .

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 10. Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и их системы.

Теория

Конспект урока

Мы с вами уже многократно применяли термин «тригонометрическая функция». Еще на первом уроке этой темы мы определили их с помощью прямоугольного треугольника и единичной тригонометрической окружности. Используя такие способы задания тригонометрических функций, мы уже можем сделать вывод, что для них одному значению аргумента (или угла) соответствует строго одно значение функции, т.е. мы вправе называть синус, косинус, тангенс и котангенс именно функциями.

На этом уроке самое время попробовать абстрагироваться от рассмотренных ранее способов вычисления значений тригонометрических функций. Сегодня мы перейдем к привычному алгебраическому подходу работы с функциями, мы рассмотрим их свойства и изобразим графики.

Что касается свойств тригонометрических функций, то особое внимание следует обратить на:

Область определения и область значений, т.к. для синуса и косинуса есть ограничения по области значений, а для тангенса и котангенса ограничения по области определения;

Периодичность всех тригонометрических функций, т.к. мы уже отмечали наличие наименьшего ненулевого аргумента, добавление которого не меняет значение функции. Такой аргумент называют периодом функции и обозначают буквой . Для синуса/косинуса и тангенса/котангенса эти периоды различны.

Рассмотрим функцию:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция нечетная ;

Построим график функции . При этом удобно начинать построение с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом , что связано с областью значений функции. Кроме того, для построения полезно помнить значения синусов нескольких основных табличных углов, например, что Это позволит построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать ее вправо и влево, пользуясь тем, что картинка будет повторяться со смещением на период, т.е. на .

Теперь рассмотрим функцию:

Основные свойства этой функции:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция четная Из этого следует симметричность графика функции относительно оси ординат;

4) Функция не является монотонной на всей своей области определения;

Построим график функции . Как и при построении синуса удобно начинать с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом , что связано с областью значений функции. Также нанесем на график координаты нескольких точек, для чего необходимо помнить значения косинусов нескольких основных табличных углов, например, что С помощью этих точек мы можем построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать ее вправо и влево, пользуясь тем, что картинка будет повторяться со смещением на период, т.е. на .

Перейдем к функции:

Основные свойства этой функции:

1) Область определения кроме , где . Мы уже указывали в предыдущих уроках, что не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период тангенса;

2) Область значений , т.е. значения тангенса не ограничены;

3) Функция нечетная ;

4) Функция монотонно возрастает в пределах своих так называемых веток тангенса, которые мы сейчас увидим на рисунке;

5) Функция периодична с периодом

Построим график функции . При этом удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т.е. и т.д. Далее изображаем ветки тангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. При этом не забываем, что каждая ветка монотонно возрастает. Все ветки изображаем одинаково, т.к. функция имеет период, равный . Это видно по тому, что каждая ветка получается смещением соседней на вдоль оси абсцисс.

И завершаем рассмотрением функции:

Основные свойства этой функции:

1) Область определения кроме , где . По таблице значений тригонометрических функций мы уже знаем, что не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период котангенса;

2) Область значений , т.е. значения котангенса не ограничены;

3) Функция нечетная ;

4) Функция монотонно убывает в пределах своих веток, которые похожи на ветки тангенса;

5) Функция периодична с периодом

Построим график функции . При этом, как и для тангенса, удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т.е. и т.д. Далее изображаем ветки котангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. В этом случае учитываем, что каждая ветка монотонно убывает. Все ветки аналогично тангенсу изображаем одинаково, т.к. функция имеет период, равный .

Отдельно следует отметить тот факт, что у тригонометрических функций со сложным аргументом может быть нестандартный период. Речь идет о функциях вида:

У них период равен . И о функциях:

У них период равен .

Как видим, для вычисления нового периода стандартный период просто делится на множитель при аргументе. От остальных видоизменений функции он не зависит.

Подробнее разобраться и понять, откуда берутся эти формулы, вы сможете в уроке про построение и преобразование графиков функций.

Мы подошли к одной из самых главных частей темы «Тригонометрия», которую мы посвятим решению тригонометрических уравнений. Умение решать такие уравнения важно, например, при описании колебательных процессов в физике. Представим, что вы на спортивной машине проехали несколько кругов на картинге, определить сколько времени вы уже участвуете в гонке в зависимости от положения машины на трассе поможет решение тригонометрического уравнения.

Запишем простейшее тригонометрическое уравнение:

Решением такого уравнения являются аргументы, синус которых равен . Но мы уже знаем, что из-за периодичности синуса таких аргументов существует бесконечное множество. Таким образом, решением этого уравнения будут и т.п. То же самое относится и к решению любого другого простейшего тригонометрического уравнения, их будет бесконечное количество.

Тригонометрические уравнения делятся на несколько основных типов. Отдельно следует остановиться на простейших, т.к. все остальные к ним сводятся. Таких уравнений четыре (по количеству основных тригонометрических функций). Для них известны общие решения, их необходимо запомнить.

Простейшие тригонометрические уравнения и их общие решения выглядят следующим образом:

Обратите внимание, что на значения синуса и косинуса необходимо учитывать известные нам ограничения. Если, например, , то уравнение не имеет решений и применять указанную формулу не следует.

Кроме того, указанные формулы корней содержат параметр в виде произвольного целого числа . В школьной программе это единственный случай, когда решение уравнения без параметра содержит в себе параметр. Это произвольное целое число показывает, что можно выписать бесконечное количество корней любого из указанных уравнений просто подставляя вместо по очереди все целые числа.

Ознакомиться с подробным получением указанных формул вы можете, повторив главу «Тригонометрические уравнения» в программе алгебры 10 класса.

Отдельно необходимо обратить внимание на решение частных случаев простейших уравнений с синусом и косинусом. Эти уравнения имеют вид:

К ним не следует применять формулы нахождения общих решений. Такие уравнения удобнее всего решаются с использованием тригонометрической окружности, что дает более простой результат, чем формулы общих решений.

Например, решением уравнения является . Попробуйте сами получить этот ответ и решить остальные указанные уравнения.

Кроме указанного наиболее часто встречающегося типа тригонометрических уравнений существуют еще несколько стандартных. Перечислим их с учетом тех, которые мы уже указали:

1) Простейшие , например, ;

2) Частные случаи простейших уравнений , например, ;

3) Уравнения со сложным аргументом , например, ;

4) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем вынесения общего множителя , например, ;

5) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем преобразования тригонометрических функций , например, ;

6) Уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью замены , например, ;

7) Однородные уравнения , например, ;

8) Уравнения, которые решаются с использованием свойств функций , например, . Пусть вас не пугает, что в этом уравнении две переменные, оно при этом решается;

А также уравнения, которые решаются с использованием различных методов.

Кроме решения тригонометрических уравнений необходимо уметь решать и их системы.

Наиболее часто встречаются системы следующих типов:

1) В которых одно из уравнений степенное , например, ;

2) Системы из простейших тригонометрических уравнений , например, .

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели основные тригонометрические функции, их свойства и графики. А также познакомились с общими формулами решения простейших тригонометрических уравнений, указали основные типы таких уравнений и их систем.

В практической части урока мы разберем методы решения тригонометрических уравнений и их систем.

Вставка 1. Решение частных случаев простейших тригонометрических уравнений .

Как мы уже говорили в основной части урока частные случаи тригонометрических уравнений с синусом и косинусом вида:

имеют более простые решения, чем дают формулы общих решений.

Для этого используется тригонометрическая окружность. Разберем метод их решения на примере уравнения .

Изобразим на тригонометрической окружности точку, в которой значение косинуса равно нулю, оно же является координатой по оси абсцисс. Как видим, таких точек две. Наша задача указать чему равен угол, который соответствует этим точкам на окружности.

Начинаем отсчет от положительного направления оси абсцисс (оси косинусов) и при откладывании угла попадаем в первую изображенную точку, т.е. одним из решений будет это значение угла. Но нас же еще устраивает угол, который соответствует второй точке. Как попасть в нее?

Простейшие тригонометрические уравнения решаются, как правило, по формулам. Напомню, что простейшими называются вот такие тригонометрические уравнения:

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

х - угол, который нужно найти,
а - любое число.

А вот и формулы, с помощью которых можно сразу записать решения этих простейших уравнений.

Для синуса:

Для косинуса:

х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Для тангенса:

х = arctg a + π n, n ∈ Z

Для котангенса:

х = arcctg a + π n, n ∈ Z

Собственно, это и есть теоретическая часть решения простейших тригонометрических уравнений. Причём, вся!) Совсем ничего. Однако, количество ошибок по этой теме просто зашкаливает. Особенно, при незначительном отклонении примера от шаблона. Почему?

Да потому, что масса народу записывает эти буковки, не понимая их смысла совершенно! С опаской записывает, как бы чего не вышло...) С этим надо разобраться. Тригонометрия для людей, или люди для тригонометрии, в конце концов!?)

Разберёмся?

Один угол у нас будет равен arccos a, второй: -arccos a.

И так будет получаться всегда. При любом а.

Если не верите, наведите курсор мышки на картинку, или коснитесь рисунка на планшете.) Я изменил число а на какое-то отрицательное. Всё равно, один угол у нас получился arccos a, второй: -arccos a.

Следовательно, ответ можно всегда записать в виде двух серий корней:

х 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

х 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Объединяем эти две серии в одну:

х= ± arccos а + 2π n, n ∈ Z

И все дела. Получили общую формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.

Если вы понимаете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращённая запись двух серий ответов, вам и задания "С" будут по плечу. С неравенствами, с отбором корней из заданного интервала... Там ответ с плюсом/минусом не катит. А если отнестись к ответу делово, да разбить его на два отдельных ответа, всё и решается.) Собственно, для этого и разбираемся. Что, как и откуда.

В простейшем тригонометрическом уравнении

sinx = а

тоже получается две серии корней. Всегда. И эти две серии тоже можно записать одной строчкой. Только эта строчка похитрее будет:

х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Но суть остаётся прежней. Математики просто сконструировали формулу, чтобы вместо двух записей серий корней, сделать одну. И всё!

Проверим математиков? А то мало ли...)

В предыдущем уроке подробно разобрано решение (безо всяких формул) тригонометрического уравнения с синусом:

В ответе получились две серии корней:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Если мы будем решать это же уравнение по формуле, получим ответ:

х = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Вообще-то, это недоделанный ответ.) Ученик обязан знать, что arcsin 0,5 = π /6. Полноценный ответ будет:

х = (-1) n π /6 + π n, n ∈ Z

Тут возникает интересный вопрос. Ответ через х 1 ; х 2 (это правильный ответ!) и через одинокий х (и это правильный ответ!) - одно и то же, или нет? Сейчас узнаем.)

Подставляем в ответ с х 1 значения n =0; 1; 2; и т.д., считаем, получаем серию корней:

х 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 и так далее.

При такой же подстановке в ответ с х 2 , получаем:

х 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 и так далее.

А теперь подставляем значения n (0; 1; 2; 3; 4...) в общую формулу для одинокого х . Т.е возводим минус один в нулевую степень, затем в первую, вторую, и т.д. Ну и, разумеется, во второе слагаемое подставляем 0; 1; 2 3; 4 и т.д. И считаем. Получаем серию:

х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и так далее.

Вот всё и видно.) Общая формула выдаёт нам точно такие же результаты, что и два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядочку. Не обманули математики.)

Формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом тоже можно проверить. Но не будем.) Они и так простенькие.

Я расписал всю эту подстановку и проверку специально. Здесь важно понять одну простую вещь: формулы для решения элементарных тригонометрических уравнений есть, всего лишь, краткая запись ответов. Для этой краткости пришлось вставить плюс/минус в решение для косинуса и (-1) n в решение для синуса.

Эти вставки никак не мешают в заданиях, где нужно просто записать ответ элементарного уравнения. Но если надо решать неравенство, или далее нужно что-то делать с ответом: отбирать корни на интервале, проверять на ОДЗ и т.п, эти вставочки могут запросто выбить человека из колеи.

И что делать? Да либо расписать ответ через две серии, либо решать уравнение/неравенство по тригонометрическому кругу. Тогда исчезают эти вставочки и жизнь становится легче.)

Можно подвести итоги.

Для решения простейших тригонометрических уравнений существуют готовые формулы ответов. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, надо решить уравнения:

sinx = 0,3

Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Запросто: х = arctg 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Одной левой: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Если вы, блистая знаниями, мгновенно пишете ответ:

х= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

то блистаете вы уже, это... того... из лужи.) Правильный ответ: решений нет. Не понимаете, почему? Прочитайте, что такое арккосинус. Кроме того, если в правой части исходного уравнения стоят табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и т.п. - ответ через арки будет недоделанным. Арки нужно обязательно перевести в радианы.

А если уж вам попалось неравенство, типа

то ответ в виде:

х πn, n ∈ Z

есть редкая ахинея, да...) Тут надо по тригонометрическому кругу решать. Чем мы и займёмся в соответствующей теме.

Для тех, кто героически дочитал до этих строк. Я просто не могу не оценить ваши титанические усилия. Вам бонус.)

Бонус:

При записи формул в тревожной боевой обстановке, даже закалённые учёбой ботаны частенько путаются, где πn, а где 2π n. Вот вам простой приёмчик. Во всех формулах стоит πn. Кроме единственной формулы с арккосинусом. Там стоит 2πn. Два пиэн. Ключевое слово - два. В этой же единственной формуле стоят два знака в начале. Плюс и минус. И там, и там - два.

Так что, если вы написали два знака перед арккосинусом, легче вспомнить, что в конце будет два пиэн. А ещё наоборот бывает. Пропустит человек знак ± , доберётся до конца, напишет правильно два пиэн, да и спохватится. Впереди-то два знака! Вернётся человек к началу, да ошибку-то и исправит! Вот так.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.