1. Общее уравнение плоскости

Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению: Ax + By + Cz + D = 0 , где А, В, С – координаты вектора

N = Ai + Bj + Ck -вектор нормали к плоскости. Возможны следующие частные случаи:

A = 0 – плоскость параллельна оси Ох

B = 0 – плоскость параллельна оси Оу C = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

A = B = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу A = C = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz B = C = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz A = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

B = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу C = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

A = B = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу A = C = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz B = C = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz

2. Уравнение поверхности в пространстве

Определение. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Для того, чтобы через три какиелибо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

Рассмотрим точки М1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ), M3 (x3 , y3 , z3 ) в общей декартовой системе

координат.
Для того, чтобы произвольная точка M (x , y , z )	лежала в одной плоскости с точками
M 1 , M 2 , M 3 необходимо, чтобы векторы M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M были компланарны, т.е
M1 M = { x − x1 ; y − y1 ; z − z1 }
(M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M ) = 0. Таким образом, M 1 M 2	= { x 2 − x 1 ; y 2		− y 1 ; z 2 − z 1}
M1 M 3	= { x 3 − x 1 ; y 3 − y 1 ; z 3 − z 1}
		x − x1	y − y1	z − z1
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:		x 2 − x 1	y 2 − y 1	z 2 − z 1
		x 3 − x 1	y 3 − y 1	z 3 − z 1

4. Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости

Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и векторa = (a 1 , a 2 , a 3 ) .

Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную

точку М(х, у, z) параллельно вектору a .
Векторы M1 M = { x − x1 ; y − y1 ; z − z1 }	и вектор a = (a , a					должны быть
M 1M 2 = { x 2 − x 1 ; y 2 − y 1 ; z 2 − z 1}
			x − x1				y − y1	z − z1
компланарны, т.е. (M 1 M , M 1 M 2 , a ) = 0.Уравнение плоскости:		x 2 − x 1					y 2 − y 1	z 2 − z 1

5. Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости

Пусть заданы два вектора a = (a 1 , a 2 , a 3 ) и b = (b 1 ,b 2 ,b 3 ) , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы a ,b , MM 1 должны быть компланарны.

6. Уравнение плоскости по точке и вектору нормали

Теорема. Если в пространстве задана точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) , то уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 перпендикулярно вектору нормали N (A , B ,C ) имеет вид: A (x − x 0 ) + B (y − y 0 ) + C (z − z 0 ) = 0 .

7. Уравнение плоскости в отрезках

Если в общем уравнении Ax + By + Cz + D = 0 поделить обе части на (-D)

x −

y −

z − 1 = 0 , заменив −

C , получим уравнение плоскости

в отрезках:

1 . Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно

с осями х, у, z.

8. Уравнение плоскости в векторной форме

r n = p , где r = xi + yj + zk - радиусвектор текущей точки M (x , y , z ) ,

n = i cosα + j cos β + k cosγ - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра,

опущенного на плоскость из начала координат. α , β и γ - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z. p – длина этого перпендикуляра. В координатах это уравнение имеет вид:

x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0

9. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от произвольной точки M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно:

d = Ax0 + By0 + Cz0 + D

A2 + B2 + C 2

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2,-1,4) и В(3,2,-1) перпендикулярно плоскости x + y + 2z − 3 = 0 .

Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0 , вектор нормали к этой плоскости n 1 (A,B,C). Вектор AB (1,3,-5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость,

перпендикулярная искомой имеет вектор нормали n 2 (1,1,2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

n = AB × n

− 5

− j

− 5

11 i − 7 j − 2 k .

− 5

Таким образом, вектор нормали n 1 (11,-7,-2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е.

11.2 + 7.1− 2.4 + D = 0; D = − 21. Итого, получаем уравнение плоскости: 11x − 7 y − 2z − 21 = 0

10. Уравнение линии в пространстве

Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

F (x , y , z ) = 0 . Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана какимлибо уравнением.

Пусть F (x , y , z ) = 0 и Ф (x , y , z ) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.

F (x , y , z ) = 0

Тогда пару уравнений Ф (x , y , z ) = 0 назовем уравнением линии в пространстве.

11. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему векторуr 0 = M 0 M .

Т.к. векторы М 0 М и S коллинеарны, то верно соотношение М 0 М = St , где t – некоторый параметр. Итого, можно записать: r = r 0 + St .

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.

x = x0 + mt

Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме: y = y 0 + nt

z = z0 + pt

Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические

уравнения прямой в пространстве:	x − x0		y − y0		z − z0

Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора S , которые могут быть вычислены по формулам:

	cosα =			; cos β =		; cosγ =
					N 2 + p 2		m 2 + n 2 + p 2

Отсюда получим: m : n : p = cosα : cos β : cosγ .

Числа m , n , p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. S - ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.

12. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки

Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) и

M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

x 2 − x 1		y 2 − y 1		z 2 − z 1

Чтобы получить общее уравнение плоскости, разберём плоскость, проходящую через заданную точку.

Пусть в пространстве есть три уже известные нам оси координат - Ox , Oy и Oz . Подержим лист бумаги так, чтобы он оставался плоским. Плоскостью будет сам лист и его продолжение во всех направлениях.

Пусть P произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей вектор называется вектором нормали к этой плоскости. Естественно, речь идёт о ненулевом векторе.

Если известна какая-нибудь точка плоскости P и какой-нибудь вектор нормали к ней, то этими двумя условиями плоскость в пространстве вполне определена (через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору). Общее уравнение плоскости будет иметь вид:

Итак, условия, которыми задаётся уравнение плоскости, есть. Чтобы получить само уравнение плоскости , имеющее приведённый выше вид, возьмём на плоскости P произвольную точку M с переменными координатами x , y , z . Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис. 1). Для этого, согласно условию перпендикулярности векторов, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, то есть

Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле :

.

Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме:

Так как точка M(x; y; z) выбрана на плоскости произвольно, то последнему уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на плоскости P . Для точки N , не лежащей на заданной плоскости, , т.е. равенство (1) нарушается.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Решение. Используем формулу (1), еще раз посмотрим на неё:

В этой формуле числа A , B и C координаты вектора , а числа x 0 , y 0 и z 0 - координаты точки .

Вычисления очень простые: подставляем эти числа в формулу и получаем

Умножаем всё, что нужно умножить и складываем просто числа (которые без букв). Результат:

.

Требуемое уравнение плоскости в этом примере оказалось выражено общим уравнением первой степени относительно переменных координат x, y, z произвольной точки плоскости.

Итак, уравнение вида

называется общим уравнением плоскости .

Пример 2. Построить в прямоугольной декартовой системе координат плоскость, заданную уравнением .

Решение. Для построения плоскости необходимо и достаточно знать какие-либо три её точки, не лежащие на одной прямой, например, точки пересечения плоскости с осями координат.

Как найти эти точки? Чтобы найти точку пересечения с осью Oz , нужно в уравнение, данное в условии задачи, вместо икс и игрека подставить нули: x = y = 0 . Поэтому получаем z = 6 . Таким образом, заданная плоскость пересекает ось Oz в точке A (0; 0; 6) .

Точно так же находим точку пересечения плоскости с осью Oy . При x = z = 0 получаем y = −3 , то есть точку B (0; −3; 0) .

И, наконец, находим точку пересечения нашей плоскости с осью Ox . При y = z = 0 получим x = 2 , то есть точку C (2; 0; 0) . По трём полученным в нашем решении точкам A (0; 0; 6) , B (0; −3; 0) и C (2; 0; 0) строим заданную плоскость.

Рассмотрим теперь частные случаи общего уравнения плоскости . Это случаи, когда те или иные коэффициенты уравнения (2) обращаются в нуль.

1. При D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки 0 (0; 0; 0) удовлетворяют этому уравнению.

2. При A = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ox , поскольку вектор нормали этой плоскости перпендикулярен оси Ox (его проекция на ось Ox равна нулю). Аналогично, при B = 0 плоскость параллельная оси Oy , а при C = 0 плоскость параллельна оси Oz .

3. При A = D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через ось Ox , поскольку она параллельна оси Ox (A = D = 0). Аналогично, плоскость проходит через ось Oy , а плоскость через ось Oz .

4. При A = B = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости xOy , поскольку она параллельна осям Ox (A = 0) и Oy (B = 0). Аналогично, плоскость параллельна плоскости yOz , а плоскость - плоскости xOz .

5. При A = B = D = 0 уравнение (или z = 0) определяет координатную плоскость xOy , так как она параллельна плоскости xOy (A = B = 0) и проходит через начало координат (D = 0). Аналогично, уравнение y = 0 в пространстве определяет координатную плоскость xOz , а уравнение x = 0 - координатную плоскость yOz .

Пример 3. Составить уравнение плоскости P , проходящей через ось Oy и точку .

Решение. Итак, плоскость проходит через ось Oy . Поэтому в её уравнении y = 0 и это уравнение имеет вид . Для определения коэффициентов A и C воспользуемся тем, что точка принадлежит плоскости P .

Поэтому среди её координат есть такие, которые можно подставить в уравнению плоскости, которое мы уже вывели (). Смотрим ещё раз на координаты точки:

M 0 (2; −4; 3) .

Среди них x = 2 , z = 3 . Подставляем их в уравнение общего вида и получаем уравнение для нашего частного случая:

2A + 3C = 0 .

Оставляем 2A в левой части уравнения, переносим 3C в правую часть и получаем

A = −1,5C .

Подставив найденное значение A в уравнение , получим

или .

Это и есть уравнение, требуемое в условии примера.

Решить задачу на уравнения плоскости самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Определить плоскость (или плоскости, если больше одной) относительно координатных осей или координатных плоскостей, если плоскость (плоскости) задана уравнением .

Решения типичных задач, которые бывают на контрольных работах - в пособии "Задачи на плоскость: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке" .

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Как уже упоминалось, необходимым и достаточным условием для построения плоскости, кроме одной точки и вектора нормали, являются также три точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть даны три различные точки , и , не лежащие на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат на одной прямой, векторы и не коллинеарны, а поэтому любая точка плоскости лежит в одной плоскости с точками , и тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Используя выражение смешанного произведения в координатах, получим уравнение плоскости

(3)

После раскрытия определителя это уравнение становится уравнением вида (2), т.е. общим уравнением плоскости.

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой:

и определить частный случай общего уравнения прямой, если такой имеет место.

Решение. По формуле (3) имеем:

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Нормальным уравнением плоскости называется её уравнение, записанное в виде

24. Линейная зависимость столбцов матрицы. Свойства Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы

Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов матриц

25. Базисный минор. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге.

26. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли о совместимости систем.

27. Однородные системы линейных уравнений. Свойства их решений. Общее решение ослу.

28. Фундаментальная система решений ослу

29. Неоднородные системы линейных уравнений. Свойства их решений. Построение общего решения нслу.

30. Линейные пространства. Определение. Примеры, следствия из аксиом.

31. Линейная зависимость векторов линейного пространства. Свойства

32. Базис линейного пространства. Размерность

33. Единственность разложения векторов по базису. Координаты. Действия над векторами в координатной форме.

34. Изменение координат вектора при переходе к новому базису. Матрица перехода.

35. Евклидово пространство. Определение, примеры. Модуль вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского.

36. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

37. Образ и ядро линейного оператора. Ранг линейного оператора.

38.В отдельном файле.

39. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Их свойства

40. Последовательность. Предел последовательности. Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Определение

[Править]Примеры

[Править]Операции над последовательностями

[Править]Подпоследовательности

[Править]Примеры

[Править]Свойства

[Править]Предельная точка последовательности

[Править]Предел последовательности

[Править]Некоторые виды последовательностей

[Править]Ограниченные и неограниченные последовательности

[Править]Критерий ограниченности числовой последовательности

[Править]Свойства ограниченных последовательностей

[Править]Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

[Править]Свойства бесконечно малых последовательностей

[Править]Сходящиеся и расходящиеся последовательности

[Править]Свойства сходящихся последовательностей

41. Понятие функции. Способы задания функции.

42. Предел функции в точке, в бесконечности. Геометрическая интерпретация. Определения и примеры.

43. Теоремы о пределах:

44. Непрерывные функции и их свойства:

Свойства Локальные

Глобальные

Теорема о сохранении знака для непрерывной функции

Доказательство

45. Первый замечательный предел. Следствия. Теорема о пределе суммы, произведения и частного.

46. Ограниченные функции и их свойства. Необходимое условие существования предела функции в точке.

47. Бесконечно малые функции, их свойства. Леммы

Леммы о бесконечно малых

48. Критерий существования предела функции в точке.

49. Бесконечно большие функции, связь с бесконечно малыми функциями.

50. Раскрытие неопределенностей. Второй замечательный предел.

51. Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.

52. Теорема о применении эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов.

3.2. Основные формулы эквивалентности бесконечно малых.

53. Односторонние пределы функции в точке. Односторонняя непрерывность функции в точке.

54. Точки разрыва функции и их классификация.

55. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

56. Задачи, приводящие к понятию производной. Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной.

1.1 Задачи, приводящие к понятию производной

, Если.

57. Дифференцируемость функции. Критерий дифференцируемости функции в точке.

57. Дифференцируемость функции. Критерий дифференцируемости функции в точке.

58. Производная сложной функции.

59. Дифференциал функции. Инвариантность формы записи первого дифференциала.

60. Обратная функция и ее производная.

60. Обратная функция и ее производная.

61. Правила дифференцирования.

63. Логарифмическое дифференцирование. Производная степенно-показательной функции.

5.4. Производная степенно-показательной функции

64. См. Отдельный файл.

65. Теоремы о среднем – Ферма, Ролля.

66. Теоремы о среднем – Лагранжа, Коши.

67. Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы записи.

68. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей с использованием правила Лопиталя.

69. Формула Тейлора. Разложение функции по формуле Тейлора.

70. Монотонность функции. Условия монотонности.

71. Экстремумы функции. Необходимое условие существования экстремума.

72. Достаточные условия экстремума.

73. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

74. Асимптоты графика.

[Править]Виды асимптот графиков [править]Вертикальная

[Править]Горизонтальная

[Править]Наклонная

[Править]Нахождение асимптот

76. Метод замены переменных в неопределенном интеграле.

77. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Классы функций, интегрируемых по частям.

78. Рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на сумму простейших.

79. Интегрирование простейших рациональных дробей.

80. Интегрирование тригонометрических функций.

81. Интегрирование иррациональностей вида…

82. Интегрирование иррациональностей вида…

83. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства. Теорема о среднем.

84. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

85. Полярная система координат. Уравнения кривых в полярной системе координат.

Уравнение кривых в полярных координатах

Окружность

Полярная роза

Спираль Архимеда

Конические сечения

86. Вычисление определенного интеграла. Применение его к вычислению площадей плоских фигур, длины дуги кривой.

87. Вычисление объемов тел, объемов тел вращения.

88. Приложение определенного интеграла к задачам физики.

89. Несобственные интегралы I рода.

89. Несобственные интегралы I рода.

Несобственные интегралы I рода

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Примеры

90. Несобственные интегралы II рода.

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода

Нормальное уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости вида называют нормальным уравнением плоскости , если длина вектора равна единице, то есть, , и .

Часто можно видеть, что нормальное уравнение плоскости записывают в виде . Здесь - направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины, то есть , а p – неотрицательное число, равное расстоянию от начала координат до плоскости.

Нормальное уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz определяет плоскость, которая удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости . Если p=0 , то плоскость проходит через начало координат.

Приведем пример нормального уравнения плоскости.

Пусть плоскость задана в прямоугольной системе координат Oxyz общим уравнение плоскости вида . Это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости. Действительно, и нормальный вектор этой плоскости имеет длину равную единице, так как .

Уравнение плоскости в нормальном виде позволяет находить расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости - это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Если и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае. Расстояние от точки до плоскости равно

Взаимное расположение плоскостей. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Расстояние между параллельными плоскостями

Связанные понятия

Плоскости параллельны , если

или (Векторное произведение)

Плоскости перпендикулярны , если

Или . (Скалярное произведение)

Прямая в пространстве. Различные виды уравнения прямой.

Уравнения прямой в пространстве – начальные сведения.

Уравнение прямой на плоскости Oxy представляет собой линейное уравнение с двумя переменными x и y , которому удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точек. С прямой в трехмерном пространстве дело обстоит немного иначе – не существует линейного уравнения с тремя переменными x , y и z , которому бы удовлетворяли только координаты точек прямой, заданной в прямоугольной системе координат Oxyz . Действительно, уравнение вида , гдеx , y и z – переменные, а A , B , C и D – некоторые действительные числа, причем А , В и С одновременно не равны нулю, представляет собой общее уравнение плоскости . Тогда встает вопрос: «Каким же образом можно описать прямую линию в прямоугольной системе координат Oxyz »?

Ответ на него содержится в следующих пунктах статьи.

Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей.

Напомним одну аксиому: если две плоскости в пространстве имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой находятся все общие точки этих плоскостей. Таким образом, прямую линию в пространстве можно задать, указав две плоскости, пересекающиеся по этой прямой.

Переведем последнее утверждение на язык алгебры.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и известно, что прямая a является линией пересечения двух плоскостей и, которым отвечают общие уравнения плоскости видаисоответственно. Так как прямаяa представляет собой множество всех общих точек плоскостей и, то координаты любой точки прямой a будут удовлетворять одновременно и уравнениюи уравнению, координаты никаких других точек не будут удовлетворять одновременно обоим уравнениям плоскостей. Следовательно, координаты любой точки прямойa в прямоугольной системе координат Oxyz представляют собой частное решение системы линейных уравнений вида , а общее решение системы уравненийопределяет координаты каждой точки прямойa , то есть, определяет прямую a .

Итак, прямая в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz может быть задана системой из уравнений двух пересекающихся плоскостей .

Вот пример задания прямой линии в пространстве с помощью системы двух уравнений - .

Описание прямой линии уравнениями двух пересекающихся плоскостей отлично подходит принахождении координат точки пересечения прямой и плоскости , а также при нахождении координат точки пересечения двух прямых в пространстве .

Рекомендуем продолжить изучение этой темы, обратившись к статье уравнения прямой в пространстве - уравнения двух пересекающихся плоскостей . В ней дана более детальная информация, подробно разобраны решения характерных примеров и задач, а также показан способ перехода к уравнениям прямой в пространстве другого вида.

Следует отметить, что существуют различные способы задания прямой в пространстве , и на практике прямая чаще задается не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, лежащей на этой прямой. В этих случаях проще получить канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. О них поговорим в следующих пунктах.

Параметрические уравнения прямой в пространстве.

Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид ,

где x 1 ,y 1 и z 1 – координаты некоторой точки прямой, a x , a y и a z (a x , a y и a z одновременно не равны нулю) - соответствующие координаты направляющего вектора прямой , а - некоторый параметр, который может принимать любые действительные значения.

При любом значении параметра по параметрическим уравнениям прямой в пространстве мы можем вычислить тройку чисел,

она будет соответствовать некоторой точке прямой (отсюда и название этого вида уравнений прямой). К примеру, при

из параметрических уравнений прямой в пространстве получаем координаты x 1 , y 1 и z 1 : .

В качестве примера рассмотрим прямую, которую задают параметрические уравнения вида . Эта прямая проходит через точку, а направляющий вектор этой прямой имеет координаты.

Рекомендуем продолжить изучение темы, обратившись к материалу статьи параметрические уравнения прямой в пространстве . В ней показан вывод параметрических уравнений прямой в пространстве, разобраны частные случаи параметрических уравнений прямой в пространстве, даны графические иллюстрации, приведены развернутые решения характерных задач и указана связь параметрических уравнений прямой с другими видами уравнений прямой.

Канонические уравнения прямой в пространстве.

Разрешив каждое из параметрических уравнений прямой вида относительно параметра, легко перейти кканоническим уравнениям прямой в пространстве вида .

Канонические уравнения прямой в пространстве определяют прямую, проходящую через точку, а направляющим вектором прямой является вектор. К примеру, уравнения прямой в каноническом видесоответствуют прямой, проходящей через точку пространства с координатами, направляющий вектор этой прямой имеет координаты.

Следует отметить, что одно или два из чисел в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числаодновременно не могут быть равны нулю, так как направляющий вектор прямой не может быть нулевым). Тогда запись видасчитается формальной (так как в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и ее следует понимать как, где.

Если одно из чисел в канонических уравнениях прямой равно нулю, то прямая лежит в одной из координатных плоскостей, либо в плоскости ей параллельной. Если два из чиселравны нулю, то прямая либо совпадает с одной из координатных осей, либо параллельна ей. Например прямая, соответствующая каноническим уравнениям прямой в пространстве вида, лежит в плоскостиz=-2 , которая параллельна координатной плоскости Oxy , а координатная ось Oy определяется каноническими уравнениями .

Графические иллюстрации этих случаев, вывод канонических уравнений прямой в пространстве, подробные решения характерных примеров и задач, а также переход от канонических уравнений прямой к другим уравнениям прямой в пространстве смотрите в статье канонические уравнения прямой в пространстве .

Общее уравнение прямой. Переход от общего к каноническому уравнению.

"

– общее уравнение плоскости в пространстве

Нормальный вектор плоскости

Нормальным вектором плоскости назовем ненулевой вектор, ортогональный каждому вектору, лежащему в плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точкус заданным вектором нормали

– уравнение плоскости, проходящей через точку M0 с заданным вектором нормали

Направляющие векторы плоскости

Два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости, назовем направляющими векторами плоскости

Параметрические уравнения плоскости

– параметрическое уравнение плоскости в векторном виде

– параметрическое уравнение плоскости в координатах

Уравнение плоскости через заданную точку и два направляющих вектора

–фиксированная точка

–просто точка лол

–компланарные, значит их смешанное произведение равно 0.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

– уравнение плоскости через три точки

Уравнение плоскости в отрезках

– уравнение плоскости в отрезках

Доказательство

Для доказательства воспользуемся тем, что наша плоскость проходит через A,B,C, а нормальный вектор

Подставим координаты точки и вектораnв уравнение плоскости с нормальным вектором

Разделим все на и получим

Такие дела.

Нормальное уравнение плоскости

– угол междуoxи нормальным вектором к плоскости, выходящим из О.

– угол междуoyи нормальным вектором к плоскости, выходящим из О.

– угол междуozи нормальным вектором к плоскости, выходящим из О.

– расстояние от начала координат до плоскости.

Доказательство или какая-то такая хуйня

Знак противоположен D.

Аналогично для остальных косинусов. Конец.

Расстояние от точки до плоскости

Точка S, плоскость

– ориентированное расстояние от точкиSдо плоскости

Если , тоSи О лежат по разные стороны от плоскости

Если , тоSи О лежат по одну сторону

Умножаем наn

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Угол между плоскостями

При пересечении образуется две пары вертикальных двухгранных углов, наименьший называется углом между плоскостями

Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как

Пересечение двух плоскостей:

Параметрические уравнения прямой

– параметрическое уравнение прямой в векторном виде

– параметрическое уравнение прямой в координатах

Каноническое уравнение

– каноническое уравнение прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

– каноническое уравнение прямой в векторном виде;

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Угол между прямой и плоскостью

Расстояние от точки до прямой в пространстве

a– направляющий вектор нашей прямой.

– произвольная точка, принадлежащая данной прямой

– точка, до которой ищем расстояние.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

Расстояние между двумя параллельными прямыми

М1 – точка, принадлежащая первой прямой

М2 – точка, принадлежащая второй прямой

Кривые и поверхности второго порядка

Эллипсом назовем множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная.

Каноническое уравнение эллипса

Заменим на

Разделим на

Свойства эллипса

Пересечение с осями координат

Симметрия относительно

1. Начала координат

Эллипс представляет собой кривую, лежащую в ограниченной части плоскости

Эллипс можно получить из окружности путем её растяжения или сжатия

Параметрическое уравнение эллипса:

– директрисы

Гипербола

Гиперболой назовем множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до 2х заданных точек (фокусов) есть величина постоянная(2a)

Делаем все то же самое, что и с эллипсом, получаем

Заменяем на

Делим на

Свойства гиперболы

;

– директрисы

Асимптота

Асимптота – прямая, к которой кривая неограниченно приближается, удаляясь в бесконечность.

Парабола

Свойства паработы

Родство эллипса, гиперболы и параболы.

Родство между этими кривыми имеет алгебраическое объяснение: все они задаются уравнениями второй степени. В любой системе координат уравнения этих кривых имеют вид: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, где a, b, c, d, e, f – числа

Преобразование прямоугольных декартовых систем координат

Параллельный перенос системы координат

–O’ в старой системе координат

–координаты точки в старой системе координат

–координаты точки в новой системе координат

Координаты точки в новой системе координат.

Поворот в прямоугольной декартовой системе координат

–новая система координат

Матрица перехода от старого базиса к новому

– (под первым столбцомI ’ , под вторым –j ’ ) матрица перехода от базисаI ,j к базисуI ’ ,j ’

Общий случай

1 вариант

1. Поворот системы координат

2 вариант

1. Поворот системы координат

   Параллельный перенос начала координат

Общее уравнение линий второго порядка и его приведение к каноническому виду

– общий вид уравнений кривой второго порядка

Классификация кривых второго порядка

Эллипсоид

Сечения эллипсоида

– эллипс

– эллипс

Эллипсоиды вращения

Эллипсоидами вращения являются либо сплющенные, либо вытянутые сфероиды, в зависимости от того, вокруг чего вращаем.

Однополосный гиперболоид

Сечения однополосного гиперболоида

– гипербола с действительной осьюoy

– гипербола с действительной осью ох

Получается эллипс при любых h. Такие дела.

Однополосные гиперболоиды вращения

Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси.

Двуполостный гиперболоид

Сечения двуполостного гиперболоида

– гипербола с действ. Осьюoz

– гипербола с действительной осьюoz

Конус

– пара пересекающихся прямых

– пара пересекающихся прямых

Эллиптический параболоид

- парабола

– парабола

Вращения

Если , то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг её оси симметрии.

Гиперболический параболоид

Парабола

– парабола

h>0 гипербола с действительной осью параллельной ох

h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Под цилиндром будем понимать поверхность, которая будет получаться при движении прямой в пространстве, не меняющая своего направления, если прямая движется относительно oz, то уравнение цилиндра есть уравнение сечения плоскостьюxoy.

Эллиптический цилиндр

Гиперболический цилиндр

Параболический цилиндр

Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка

Прямые, полностью лежащие на поверхности, называются прямолинейными образующими поверхности.

Поверхности вращения

Ебать ты лох

Отображение

Отображением назовем правило, по которому каждому элементу множества А ставится в соответствие один или несколько элементов множестваB. Если каждому ставится единственный элемент множества В, то отображение называетсяоднозначным , иначемногозначным .

Преобразованием множества называется взаимнооднозначное отображение множества на себя

Инъекция

Инъекция или взаимно-однозначное отображение множества А на множество В

(разным элементам а соответствуют разные элементы В) например y=x^2

Сюръекция

Сюръекция или отображение множества А на множество В

Для каждого В существует хотя бы одно А(например синус)

Каждому элементу множества В соответствует только один элемент множества А.(например y=x)

Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости?
Взаимное расположение плоскостей. Задачи

Пространственная геометрия не намного сложнее «плоской» геометрии, и наши полёты в пространстве начинаются с данной статьи. Для усвоения темы необходимо хорошо разобраться в векторах , кроме того, желательно быть знакомым с геометрией плоскости – будет много похожего, много аналогий, поэтому информация переварится значительно лучше. В серии моих уроков 2D-мир открывается статьёй Уравнение прямой на плоскости . Но сейчас Бэтмен сошёл с плоского экрана телевизора и стартует с космодрома Байконур.

Начнём с чертежей и обозначений. Схематически плоскость можно нарисовать в виде параллелограмма, что создаёт впечатление пространства:

Плоскость бесконечна, но у нас есть возможность изобразить лишь её кусочек. На практике помимо параллелограмма также прорисовывают овал или даже облачко. Мне по техническим причинам удобнее изображать плоскость именно так и именно в таком положении. Реальные плоскости, которые мы рассмотрим в практических примерах, могут располагаться как угодно – мысленно возьмите чертёж в руки и покрутите его в пространстве, придав плоскости любой наклон, любой угол.

Обозначения : плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами , видимо, чтобы не путать их с прямой на плоскости или с прямой в пространстве . Я привык использовать букву . На чертеже именно буква «сигма», а вовсе не дырочка. Хотя, дырявая плоскость, это, безусловно, весьма забавно.

В ряде случаев для обозначения плоскостей удобно использовать те же греческие буквы с нижними подстрочными индексами, например, .

Очевидно, что плоскость однозначно определяется тремя различными точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому достаточно популярны трёхбуквенные обозначения плоскостей – по принадлежащим им точкам, например, и т.д. Нередко буквы заключают в круглые скобки: , чтобы не перепутать плоскость с другой геометрической фигурой.

Для опытных читателей приведу меню быстрого доступа :

• Как составить уравнение плоскости по точке и двум векторам?
• Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

и мы не будем томиться долгими ожиданиями:

Общее уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости имеет вид , где коэффициенты одновременно не равны нулю.

Ряд теоретических выкладок и практических задач справедливы как для привычного ортонормированного базиса, так и для аффинного базиса пространства (если масло - масляное, вернитесь к уроку Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ). Для простоты будем полагать, что все события происходят в ортонормированном базисе и декартовой прямоугольной системе координат.

А теперь немного потренируем пространственное воображение. Ничего страшного, если у вас оно плохое, сейчас немного разовьём. Даже для игры на нервах нужны тренировки.

В самом общем случае, когда числа не равны нулю, плоскость пересекает все три координатные оси. Например, так:

Ещё раз повторю, что плоскость бесконечно продолжается во все стороны, и у нас есть возможность изобразить только её часть.

Рассмотрим простейшие уравнения плоскостей:

Как понимать данное уравнение? Вдумайтесь: «зет» ВСЕГДА, при любых значениях «икс» и «игрек» равно нулю. Это уравнение «родной» координатной плоскости . Действительно, формально уравнение можно переписать так: , откуда хорошо видно, что нам по барабану, какие значения принимают «икс» и «игрек», важно, что «зет» равно нулю.

Аналогично:
– уравнение координатной плоскости ;
– уравнение координатной плоскости .

Немного усложним задачу, рассмотрим плоскость (здесь и далее в параграфе предполагаем, что числовые коэффициенты не равны нулю). Перепишем уравнение в виде: . Как его понимать? «Икс» ВСЕГДА, при любых значениях «игрек» и «зет» равно некоторому числу . Эта плоскость параллельна координатной плоскости . Например, плоскость параллельна плоскости и проходит через точку .

Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости .

Добавим членов: . Уравнение можно переписать так: , то есть «зет» может быть любым. Что это значит? «Икс» и «игрек» связаны соотношением , которое прочерчивает в плоскости некоторую прямую (узнаёте уравнение прямой на плоскости ?). Поскольку «зет» может быть любым, то эта прямая «тиражируется» на любой высоте. Таким образом, уравнение определяет плоскость, параллельную координатной оси

Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси .

Если свободные члены нулевые, то плоскости будут непосредственно проходить через соответствующие оси. Например, классическая «прямая пропорциональность»: . Начертите в плоскости прямую и мысленно размножьте её вверх и вниз (так как «зет» любое). Вывод: плоскость, заданная уравнением , проходит через координатную ось .

Завершаем обзор: уравнение плоскости проходит через начало координат. Ну, здесь совершенно очевидно, что точка удовлетворяет данному уравнению.

И, наконец, случай, который изображён на чертеже: – плоскость дружит со всеми координатными осями, при этом она всегда «отсекает» треугольник, который может располагаться в любом из восьми октантов.

Линейные неравенства в пространстве

Для понимания информации необходимо хорошо изучить линейные неравенства на плоскости , поскольку многие вещи буду похожи. Параграф будет носить краткий обзорный характер с несколькими примерами, так как материал на практике встречается довольно редко.

Если уравнение задаёт плоскость, то неравенства
задают полупространства . Если неравенство нестрогое (два последних в списке), то в решение неравенства кроме полупространства входит и сама плоскость.

Пример 5

Найти единичный нормальный вектор плоскости .

Решение : Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице. Обозначим данный вектор через . Совершенно понятно, что векторы коллинеарны:

Сначала из уравнения плоскости снимем вектор нормали: .

Как найти единичный вектор? Для того чтобы найти единичный вектор , нужно каждую координату вектора разделить на длину вектора .

Перепишем вектор нормали в виде и найдём его длину:

Согласно вышесказанному:

Ответ :

Проверка: , что и требовалось проверить.

Читатели, которые внимательно изучили последний параграф урока , наверное, заметили, что координаты единичного вектора – это в точности направляющие косинусы вектора :

Отвлечёмся от разобранной задачи: когда вам дан произвольный ненулевой вектор , и по условию требуется найти его направляющие косинусы (см. последние задачи урока Скалярное произведение векторов ), то вы, по сути, находите и единичный вектор, коллинеарный данному. Фактически два задания в одном флаконе.

Необходимость найти единичный вектор нормали возникает в некоторых задачах математического анализа.

С выуживанием нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос:

Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

Эту жёсткую конструкцию вектора нормали и точки хорошо знает мишень для игры в дартс. Пожалуйста, вытяните руку вперёд и мысленно выберите произвольную точку пространства, например, маленькую кошечку в серванте. Очевидно, что через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вашей руке.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , выражается формулой: