Формулы определенных интегралов таблица полная. Интегрирование степенной функции

Перечислим интегралы от элементарных функций, которые иногда называют табличными:

Любую из приведенных выше формул можно доказать, взяв производную от правой части (в результате будет получены подынтегральная функция).

Методы интегрирования

Рассмотрим некоторые основные методы интегрирования. К ним относятся:

1. Метод разложения (непосредственного интегрирования ).

Этот методоснован на непосредственном применении табличных интегралов, а также на применении свойств 4 и 5 неопределенного интеграла (т.е. на выносе за скобку постоянного сомножителя и/или представления подынтегральной функции в виде суммы функций – разложения подынтегральной функции на слагаемые).

Пример 1. Например, для нахождения(dx/x 4) можно непосредственно воспользоваться табличным интегралом дляx n dx. В самом деле,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2. Для нахождениявоспользуемся тем же интегралом:

Пример 3. Для нахождениянадо взять

Пример 4. Чтобы найти, представим подынтегральную функцию в видеи используем табличный интеграл для показательной функции:

Рассмотрим использование выноса за скобку постоянного сомножителя.

Пример 5. Найдем, например. Учитывая, что, получим

Пример 6. Найдем. Поскольку, воспользуемся табличным интеграломПолучим

В следующих двух примерах также можно использовать вынос за скобки и табличные интегралы:

Пример 7.

(используем и);

Пример 8.

(используем и).

Рассмотрим более сложные примеры, в которых используется интеграл суммы.

Пример 9. Например, найдем
. Для применения метода разложения в числителе используем формулу куба суммы  , а затем полученный многочлен почленно разделим на знаменатель.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Следует отметить, что в конце решения записана одна общая постоянная С (а не отдельные при интегрировании каждого слагаемого). В дальнейшем также предлагается опускать в процессе решения постоянные от интегрирования отдельных слагаемых до тех пор, пока выражение содержит хотя бы один неопределенный интеграл (будем записывать одну постоянную в конце решения).

Пример 10. Найдем. Для решения этой задачи разложим на множители числитель (после этого удастся сократить знаменатель).

Пример 11. Найдем. Здесь можно использовать тригонометрические тождества.

Иногда, чтобы разложить выражение на слагаемые, приходится применять более сложные приемы.

Пример 12. Найдем. В подынтегральной функции выделим целую часть дроби. Тогда

Пример 13. Найдем

2. Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод основан на следующей формуле: f(x)dx=f((t))`(t)dt, где x =(t) - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Доказательство. Найдем производные по переменной tот левой и правой частей формулы.

Отметим, что в левой части находится сложная функция, промежуточным аргументом которой является x = (t). Поэтому, чтобы дифференцировать ее поt, сначала дифференцируем интеграл по x, а затем возмем производную от промежуточного аргумента поt.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Производная от правой части:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Так как эти производные равны, по следствию из теоремы Лагранжа левая и правая части доказываемой формулы отличаются на некоторую постоянную. Поскольку сами неопределенные интегралы определены с точностью до неопределенного постоянного слагаемого, то указанную постоянную в окончательной записи можно опустить. Доказано.

Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к табличному. В применении этого метода различают методы линейной и нелинейной подстановки.

а) Метод линейной подстановки рассмотрим на примере.

Пример 1.
. Пустьt= 1 – 2x, тогда

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно. В таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала, - т.е. о неявной замене переменной .

Пример 2. Например, найдемcos(3x + 2)dx. По свойствам дифференциала dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), тогдаcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d(3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

В обоих рассмотренных примерах для нахождения интегралов была использована линейная подстановка t=kx+b(k0).

В общем случае справедлива следующая теорема.

Теорема о линейной подстановке . ПустьF(х) - некоторая первообразная для функцииf(х). Тогдаf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, где k и b - некоторые постоянные,k0.

Доказательство.

По определению интеграла f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Вынесем постоянный множительkза знак интеграла:kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Теперь можно разделить левую и правую части равенства наkи получить доказываемое утверждение с точностью до обозначения постоянного слагаемого.

Данная теорема утверждает, что если в определение интеграла f(x)dx= F(x) + C вместо аргумента х подставить выражение (kx+b), то это приведет к появлению дополнительного множителя 1/kперед первообразной.

С использованием доказанной теоремы решим следующие примеры.

Пример 3.

Найдем . Здесьkx+b= 3 –x, т.е.k= -1,b= 3. Тогда

Пример 4.

Найдем. Здесьkx+b= 4x+ 3, т.е.k= 4,b= 3. Тогда

Пример 5.

Найдем . Здесьkx+b= -2x+ 7, т.е.k= -2,b= 7. Тогда

.

Пример 6. Найдем
. Здесьkx+b= 2x+ 0, т.е.k= 2,b= 0.

.

Сравним полученный результат с примером 8, который был решен методом разложения. Решая эту же задачу другим методом, мы получили ответ
. Сравним полученные результаты:. Таким образом, эти выражения отличаются друг от друга на постоянное слагаемое, т.е. полученные ответы не противоречат друг другу.

Пример 7. Найдем
. Выделим в знаменателе полный квадрат.

В некоторых случаях замена переменной не сводит интеграл непосредственно к табличному, но может упростить решение, сделав возможным применение на последующем шаге метода разложения.

Пример 8. Например, найдем. Заменимt=x+ 2, тогдаdt=d(x+ 2) =dx. Тогда

,

где С = С 1 – 6 (при подстановке вместоtвыражения (x+ 2) вместо первых двух слагаемых получим ½x 2 -2x– 6).

Пример 9. Найдем
. Пустьt= 2x+ 1, тогдаdt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Подставим вместо tвыражение (2x+ 1), раскроем скобки и приведем подобные.

Отметим, что в процессе преобразований мы перешли к другому постоянному слагаемому, т.к. группу постоянных слагаемых в процессе преобразований можно было опустить.

б) Метод нелинейной подстановки рассмотрим на примере.

Пример 1.
. Пустьt= -x 2 . Далее можно было бы выразить х черезt, затем найти выражение для dxи реализовать замену переменной в искомом интеграле. Но в данном случае проще поступить по-другому. Найдемdt=d(-x 2) = -2xdx. Отметим, что выражениеxdxявляется сомножителем подынтегрального выражения искомого интеграла. Выразим его из полученного равенстваxdx= - ½dt. Тогда

В школе у многих не получается решить интегралы или возникают какие-либо трудности с ними. Данная статья поможет вам в этом разобраться, так как в ней вы найдете все таблицы интегралов .

Интеграл является одним из главных вычислений и понятием в математическом анализе. Его появление получилось от двух целей:
Первая цель - восстановить функцию с помощью ее производной.
Вторая цель - вычисление площади, находящейся на расстоянии от графика к функции f(x) на прямой где, а больше или равна х больше или равен b и ось абсцисс.

Данные цели подводят нас к определенным и неопределенным интегралам. Связь между данными интегралами лежит в поиске свойств и вычислении. Но все течет и все меняется со временем, находились новые пути решения, выявлялись дополнения тем самым приводя определенные и неопределенные интегралы к иным формам интегрирования.

Что такое неопределенный интеграл спросите Вы. Это первообразная функция F(x) одной переменной x в интервале а больше х больше b. называется любой функцией F(x), в данном интервале для любого обозначения х, производная равняется F(x). Понятно что F(x) первообразная для f(x) в промежутке а больше х больше b. Значит F1(x) = F(x) + C. С -является любым постоянным и первообразным для f(x) в данном интервале. Данное утверждение обратимо, для функции f(x) - 2 первообразные отличаются только постоянной. Опираясь на теорему интегрального исчисления получается, что каждая непрерывная в интервале a

Определенный интеграл понимается как предел в интегральных суммах, или в ситуации заданной функции f(x) определенной на некоторой прямой (а,b) имея на нем первообразную F, означающую разность ее выражений в концах данной прямой F(b) - F(a).

Для наглядности изучения данной темы, предлагаю посмотреть видео. В нем подробно рассказывается и показывается как находить интегралы.

Каждая таблица интегралов сама по себе очень полезна, так как помогает в решении конкретного вида интегралов.

Все возможные виды канцтоваров и не только. Вы можете приобрести через интернет-магазин v-kant.ru. Либо просто перейдите по ссылке Канцтовары Самара (http://v-kant.ru) качество и цены Вас приятно удивят.

Определение 1

Первообразная $F(x)$ для функции $y=f(x)$ на отрезке $$ - это функция , которая является дифференцируемой в каждой точке этого отрезка и для ее производной выполняется следующее равенство:

Определение 2

Совокупность всех первообразных заданной функции $y=f(x)$, определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции $y=f(x)$. Неопределенный интеграл обозначается символом $\int f(x)dx $.

Из таблицы производных и определения 2 получаем таблицу основных интегралов.

Пример 1

Проверить справедливость формулы 7 из таблицы интегралов:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Продифференцируем правую часть: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos x} =tgx\]

Пример 2

Проверить справедливость формулы 8 из таблицы интегралов:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

Продифференцируем правую часть: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x=ctgx\]

Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.

Пример 3

Проверить справедливость формулы 11" из таблицы интегралов:

\[\int \frac{dx}{a^{2} +x^{2} } =\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C,\, \, C=const.\]

Продифференцируем правую часть: $\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C$.

\[\left(\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C\right)"=\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{x}{a} \right)^{2} } \cdot \frac{1}{a} =\frac{1}{a^{2} } \cdot \frac{a^{2} }{a^{2} +x^{2} } \]

Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.

Пример 4

Проверить справедливость формулы 12 из таблицы интегралов:

\[\int \frac{dx}{a^{2} -x^{2} } =\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C,\, \, C=const.\]

Продифференцируем правую часть: $\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C$.

$\left(\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C\right)"=\frac{1}{2a} \cdot \frac{1}{\frac{a+x}{a-x} } \cdot \left(\frac{a+x}{a-x} \right)"=\frac{1}{2a} \cdot \frac{a-x}{a+x} \cdot \frac{a-x+a+x}{(a-x)^{2} } =\frac{1}{2a} \cdot \frac{a-x}{a+x} \cdot \frac{2a}{(a-x)^{2} } =\frac{1}{a^{2} -x^{2} } $Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.

Пример 5

Проверить справедливость формулы 13" из таблицы интегралов:

\[\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } =\arcsin \frac{x}{a} +C,\, \, C=const.\]

Продифференцируем правую часть: $\arcsin \frac{x}{a} +C$.

\[\left(\arcsin \frac{x}{a} +C\right)"=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a} \right)^{2} } } \cdot \frac{1}{a} =\frac{a}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } \cdot \frac{1}{a} =\frac{1}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } \]

Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.

Пример 6

Проверить справедливость формулы 14 из таблицы интегралов:

\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } =\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C,\, \, C=const.\]

Продифференцируем правую часть: $\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C\right)"=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \left(x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } \right)"=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \left(1+\frac{1}{2\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot 2x\right)=\] \[=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \frac{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } +x}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } =\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \]

Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.

Пример 7

Найти интеграл:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Воспользуемся теоремой об интеграле суммы:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Воспользуемся теоремой о вынесении постоянного множителя за знак интеграла:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

По таблице интегралов:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac{x^{2} }{2} +C.\]

При вычислении первого интеграла воспользуемся правилом 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac{1}{3} \sin (3x+2)+C_{1} .\]

Следовательно,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac{1}{3} \sin (3x+2)+C_{1} +\frac{5x^{2} }{2} +C_{2} =\frac{1}{3} \sin (3x+2)+\frac{5x^{2} }{2} +C,\, \, C=C_{1} +C_{2} \]

Первообразная функция и неопределённый интеграл

Факт 1. Интегрирование - действие, обратное дифференцированию, а именно, восстановление функции по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ).

Определение 1. Функция F (x f (x ) на некотором промежутке X , если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство F "(x )=f (x ), то есть данная функция f (x ) является производной от первообразной функции F (x ). .

Например, функция F (x ) = sin x является первообразной для функции f (x ) = cos x на всей числовой прямой, так как при любом значении икса (sin x )" = (cos x ) .

Определение 2. Неопределённым интегралом функции f (x ) называется совокупность всех её первообразных . При этом употребляется запись

∫

f (x )dx

,

где знак ∫ называется знаком интеграла, функция f (x ) – подынтегральной функцией, а f (x )dx – подынтегральным выражением.

Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная для f (x ) , то

∫

f (x )dx = F (x ) +C

где C - произвольная постоянная (константа).

Для понимания смысла множества первообразных функции как неопределённого интеграла уместна следующая аналогия. Пусть есть дверь (традиционная деревянная дверь). Её функция - "быть дверью". А из чего сделана дверь? Из дерева. Значит, множеством первообразных подынтегральной функции "быть дверью", то есть её неопределённым интегралом, является функция "быть деревом + С", где С - константа, которая в данном контексте может обозначать, например, породу дерева. Подобно тому, как дверь сделана из дерева при помощи некоторых инструментов, производная функции "сделана" из первообразной функции при помощи формулы, которую мы узнали, изучая производную .

Тогда таблица функций распространённых предметов и соответствующих им первообразных ("быть дверью" - "быть деревом", "быть ложкой" - "быть металлом" и др.) аналогична таблице основных неопределённых интегралов, которая будет приведена чуть ниже. В таблице неопределённых интегралов перечисляются распространённые функции с указанием первообразных, из которых "сделаны" эти функции. В части задач на нахождение неопределённого интеграла даны такие подынтегральные функции, которые без особых услилий могут быть проинтегрированы непосредственно, то есть по таблице неопределённых интегралов. В задачах посложнее подынтегральную функцию нужно предварительно преобразовать так, чтобы можно было использовать табличные интегралы.

Факт 2. Восстанавливая функцию как первообразную, мы должны учитывать произвольную постоянную (константу) C , а чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, нужно записывать множество первообразных с произвольной константой C , например, так: 5x ³+С . Итак, произвольная постоянная (константа) входит в выражение первообразной, поскольку первообразная может быть функцией, например, 5x ³+4 или 5x ³+3 и при дифференцировании 4 или 3, или любая другая константа обращаются в нуль.

Поставим задачу интегрирования: для данной функции f (x ) найти такую функцию F (x ), производная которой равна f (x ).

Пример 1. Найти множество первообразных функции

Решение. Для данной функции первообразной является функция

Функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ), если производная F (x ) равна f (x ), или, что одно и то же, дифференциал F (x ) равен f (x ) dx , т.е.

(2)

Следовательно, функция - первообразная для функции . Однако она не является единственной первообразной для . Ими служат также функции

где С – произвольная постоянная. В этом можно убедиться дифференцированием.

Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде. Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема (формальное изложение факта 2). Если F (x ) – первообразная для функции f (x ) на некотором промежутке Х , то любая другая первообразная для f (x ) на том же промежутке может быть представлена в виде F (x ) + C , где С – произвольная постоянная.

В следующем примере уже обращаемся к таблице интегралов, которая будет дана в параграфе 3, после свойств неопределённого интеграла. Делаем это до ознакомления со всей таблицей, чтобы была понятна суть вышеизложенного. А после таблицы и свойств будем пользоваться ими при интегрировании во всей полносте.

Пример 2. Найти множества первообразных функций:

Решение. Находим множества первообразных функций, из которых "сделаны" данные функции. При упоминании формул из таблицы интегралов пока просто примите, что там есть такие формулы, а полностью саму таблицу неопределённых интегралов мы изучим чуть дальше.

1) Применяя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 3, получим

2) Используя формулу (10) из таблицы интегралов при n = 1/3, имеем

3) Так как

то по формуле (7) при n = -1/4 найдём

Под знаком интеграла пишут не саму функцию f , а её произведение на дифференциал dx . Это делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Например,

, ;

здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна , но её неопределённые интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными. В первом случае эта функция рассматривается как функция от переменной x , а во втором - как функция от z .

Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.

Геометрический смысл неопределённого интеграла

Пусть требуется найти кривую y=F(x) и мы уже знаем,что тангенс угла наклона касательной в каждой её точке есть заданная функция f(x) абсциссы этой точки.

Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой y=F(x) равен значению производной F"(x) . Значит, нужно найти такую функцию F(x) , для которой F"(x)=f(x) . Требуемая в задаче функция F(x) является первообразной от f(x) . Условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а семейство кривых. y=F(x) - одна из таких кривых, а всякая другая кривая может быть получена из неё параллельным переносом вдоль оси Oy .

Назовём график первообразной функции от f(x) интегральной кривой. Если F"(x)=f(x) , то график функции y=F(x) есть интегральная кривая.

Факт 3. Неопределённый интеграл геометрически представлен семеством всех интегральных кривых , как на рисунке ниже. Удалённость каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой) интегрирования C .

Свойства неопределённого интеграла

Факт 4. Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.

Факт 5. Теорема 2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции f (x ) равен функции f (x ) с точностью до постоянного слагаемого , т.е.

(3)

Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.

Факт 6. Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла , т.е.