Признаки и свойства параллельных прямых. Как доказать параллельность прямых Признаки и свойства параллельных прямых с доказательством

ГЛАВА III.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

§ 35. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ.

Теорема о том, что два перпендикуляра к одной прямой параллельны (§ 33), даёт признак параллельности двух прямых. Можно вывести более общие признаки параллельности двух прямых.

1. Первый признак параллельности.

Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Пусть прямые АВ и СD пересечены прямой ЕF и / 1 = / 2. Возьмём точку О - середину отрезка КL секущей ЕF (черт. 189).

Опустим из точки О перпендикуляр ОМ на прямую АВ и продолжим его до пересечения с прямой СD, АВ_|_МN. Докажем, что и СD_|_МN.
Для этого рассмотрим два треугольника: МОЕ и NОК. Эти треугольники равны между собой. В самом деле: / 1 = / 2 по условию теоремы; ОK = ОL - по построению;
/ МОL = / NОК, как вертикальные углы. Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника; следовательно, /\ МОL = /\ NОК, а отсюда и
/ LМО = / КNО, но / LМО прямой, значит, и / КNО тоже прямой. Таким образом, прямые АВ и СD перпендикулярны к одной и той же прямой МN, следовательно, они параллельны (§ 33), что и требовалось доказать.

Примечание. Пересечение прямых МО и СD может быть установлено путём поворота треугольника МОL вокруг точки О на 180°.

2. Второй признак параллельности.

Посмотрим, будут ли параллельны прямые АВ и СD, если при пересечении их третьей прямой ЕF равны соответственные углы.

Пусть какие-нибудь соответственные углы равны, например / 3 = / 2 (черт. 190);
/ 3 = / 1, как углы вертикальные; значит, / 2 будет равен / 1. Но углы 2 и 1 - внутренние накрест лежащие углы, а мы уже знаем, что если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

На этом свойстве основано построение параллельных прямых при помощи линейки и чертёжного треугольника. Выполняется это следующим образом.

Приложим треугольник к линейке так, как это показано на чертеже 191. Будем передвигать треугольник так, чтобы одна его сторона скользила по линейке, а по какой-либо другой стороне треугольника проведём несколько прямых. Эти прямые будут параллельны.

3. Третий признак параллельности.

Пусть нам известно, что при пересечении двух прямых АВ и СD третьей прямой сумма каких-нибудь внутренних односторонних углов равна 2d (или 180°). Будут ли в этом случае прямые АВ и СD параллельны (черт. 192).

Пусть / 1 и / 2-внутренние односторонние углы и в сумме составляют 2d .
Но / 3 + / 2 = 2d , как углы смежные. Следовательно, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Отсюда / 1 = / 3, а эти углы внутренние накрест лежащие. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2 d, то эти две прямые параллельны.

Упражнение.

Доказать, что прямые параллельны:
а) если внешние накрест лежащие углы равны (черт. 193);
б) если сумма внешних односторонних углов равняется 2d (черт. 194).

Видеоурок «Признаки параллельности двух прямых» содержит доказательство теорем, которые описывают признаки, означающие параллельность прямых. При этом в видео описывается 1) теорема о параллельности прямых, при которых секущей созданы равные углы, 2) признак, означающий параллельность двух прямых - по равным образованным соответственным углам, 3) признак, означающий параллельность двух прямых в случае, когда при их пересечении секущей односторонние углы в сумме составляют 180°. Задача данного видеоурока - ознакомить учеников с признаками, означающими параллельность двух прямых, знание которых необходимо для решения многих практических задач, наглядно представить доказательство данных теорем, формировать навыки в доказательстве геометрических утверждений.

Преимущества видеоурока связаны с тем, что при помощи анимации, голосового сопровождения, возможности выделения цветом, он обеспечивает высокую степень наглядности, может послужить заменой подачи стандартного блока нового учебного материала учителем.

Начинается видеоурок с выведения на экран названия. Перед описанием признаков параллельности прямых ученики знакомятся с понятием секущей. Дается определение секущей как прямой, которая пересекает другие прямые. На экране изображены две прямые a и b, которые пересекаются прямой с. Построенная прямая с выделена синим цветом, акцентируя внимание на том, что они является секущей данных прямых а и b. Для того чтобы рассматривать признаки параллельности прямых необходимо более детально ознакомиться с областью пересечения прямых. Секущая в точках пересечения с прямыми образует 8 углов ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, анализируя соотношения которых можно вывести признаки параллельности данных прямых. Отмечается, что углы ∠3 и ∠5, а также ∠2 и ∠4 называются накрест лежащими. Дается подробное объяснение при помощи анимации расположения накрест лежащих углов как углов, которые лежат между параллельными прямыми, и примыкают к прямым, располагаясь накрест. Затем дается понятие односторонних углов, в число которых входят пары ∠4 и ∠5, а также ∠3 и ∠6. Также указываются пары соответственных углов, которых на построенном изображении 4 пары - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.

В следующей части видеоурока рассматриваются три признака параллельности любых двух прямых. На экран выводится первое описание. Теорема утверждает, что при равенстве накрест лежащих углов, образуемых секущей, данные прямые будут параллельны. Утверждение сопровождается рисунком, на котором изображены две прямые а и b и секущая АВ. Отмечается, что образуемые накрест лежащие углы ∠1 и ∠2 равны между собой. Данное утверждение требует доказательства.

Наиболее просто доказываемый частный случай - когда данные образуемые накрест лежащие углы являются прямыми. Это означает, что секущая является перпендикуляром к прямым, а по уже доказанной теореме в этом случае прямые а и b не будут пересекаться, то есть являются параллельными. Доказательство для данного частного случая описывается на примере изображения, построенного рядом с первым рисунком, выделяя важные детали доказательства при помощи анимации.

Для доказательства в общем случае необходимо проведение дополнительного перпендикуляра из середины отрезка АВ на прямую а. Далее на прямой b откладывается отрезок ВН 1 , равный отрезку АН. Из полученной при этом точки Н 1 проводится отрезок, соединяющий точки О и Н 1 . Далее рассматриваются два треугольника ΔОНА и ΔОВН 1 , равенство которых доказывается по первому признаку равенства двух треугольников. Стороны ОА и ОВ равны по построению, так как точка О отмечалась как середина отрезка АВ. Стороны НА и Н 1 В также равны по построению, так как мы откладывали отрезок Н 1 В, равный НА. А углы ∠1=∠2 по условию задачи. Так как образованные треугольники равны между собой, то и соответствующие оставшиеся пары углов и сторон также равны между собой. Из этого следует, что и отрезок ОН 1 является продолжением отрезка ОН, составляя один отрезок НН 1 . При этом отмечается, что так как построенный отрезок ОН - перпендикуляр к прямой а, то соответственно и отрезок НН 1 является перпендикулярным к прямым а и b. Данный факт означает, используя теорему о параллельности прямых, к которым построен один перпендикуляр, что данные прямые а и b являются параллельными.

Следующая теорема, требующая доказательства - признак равенства параллельных прямых по равенству соответственных углов, образованных при пересечении секущей. Утверждение указанной теоремы выведено на экран и может быть предложено под запись учениками. Доказательство начинается с построения на экране двух параллельных прямых а и b, к которым построена секущая с. Выделенная на рисунке синим цветом. Секущей образованы соответственные углы ∠1 и ∠2, которые по условию равны между собой. Также отмечаются смежные углы ∠3 и ∠4. ∠2 по отношению к углу ∠3 является вертикальным углом. А вертикальные углы всегда равны. К тому же углы ∠1 и ∠3 являются накрест лежащими между собой - их равенство (по уже доказанному утверждению) означает, что прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Последняя часть видеоурока посвящена доказательству утверждения о том, что если сумма односторонних углов, которые образованы при пересечении двух некоторых прямых секущей прямой, будет равняться 180°, в этом случае данные прямые будут параллельны между собой. Доказательство демонстрируется, используя рисунок, на котором изображены прямые а и b, пересекающиеся с секущей с. Образованные пересечением углы отмечены аналогично предыдущему доказательству. По условию, сумма углов ∠1 и ∠4 равна 180°. При этом известно, что сумма углов ∠3 и ∠4 равна 180°, так как они являются смежными. Это означает, что углы ∠1 и ∠3 равны между собой. Данный вывод дает право утверждать, что прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Видеоурок «Признаки параллельности двух прямых» может быть использован учителем в качестве самостоятельного блока, демонстрирующего доказательства названных теорем, заменяющего объяснение учителя или сопровождающего его. А подробное объяснение дает возможность использовать материал для самостоятельного изучения учениками и поможет в объяснении материала при дистанционном обучении.

Эта глава посвящена изучению параллельных прямых. Так называются две прямые на плоскости, которые не пересекаются. Отрезки параллельных прямых мы видим в окружающей обстановке - это два края прямоугольного стола, два края обложки книги, две штанги троллейбуса и т. д. Параллельные прямые играют в геометрии очень важную роль. В этой главе вы узнаете о том, что такое аксиомы геометрии и в чём состоит аксиома параллельных прямых - одна из самых известных аксиом геометрии.

В п. 1 мы отмечали, что две прямые либо имеют одну общую точку, т. е. пересекаются, либо не имеют ни одной общей точки, т. е. не пересекаются.

Определение

Параллельность прямых а и b обозначают так: а || b.

На рисунке 98 изображены прямые а и b, перпендикулярные к прямой с. В п. 12 мы установили, что такие прямые а и b не пересекаются, т. е. они параллельны.

Рис. 98

Наряду с параллельными прямыми часто рассматривают параллельные отрезки. Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых. На рисунке 99, а отрезки АВ и CD параллельны (АВ || CD), а отрезки MN и CD не параллельны. Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой (рис. 99, б), луча и прямой, отрезка и луча, двух лучей (рис. 99, в).

Рис. 99 Признаки параллельности двух прямых

Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках (рис. 100). При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 100 обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

накрест лежащие углы : 3 и 5, 4 и 6;
односторонние углы : 4 и 5, 3 и 6;
соответственные углы : 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Рис. 100

Рассмотрим три признака параллельности двух прямых, связанные с этими парами углов.

Теорема

Доказательство

Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны: ∠1 = ∠2 (рис. 101, а).

Докажем, что а || b. Если углы 1 и 2 прямые (рис. 101, б), то прямые а и b перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны.

Рис. 101

Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.

Из середины О отрезка АВ проведём перпендикуляр ОН к прямой а (рис. 101, в). На прямой b от точки В отложим отрезок ВН 1 , равный отрезку АН, как показано на рисунке 101, в, и проведём отрезок ОН 1 . Треугольники ОНА и ОН 1 В равны по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АН = ВН 1 , ∠1 = ∠2), поэтому ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6. Из равенства ∠3 = ∠4 следует, что точка Н 1 лежит на продолжении луча ОН, т. е. точки Н, О и Н 1 лежат на одной прямой, а из равенства ∠5 = ∠6 следует, что угол 6 - прямой (так как угол 5 - прямой). Итак, прямые а и b перпендикулярны к прямой HH 1 поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Теорема

Доказательство

Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например ∠1 =∠2 (рис. 102).

Рис. 102

Так как углы 2 и 3 - вертикальные, то ∠2 = ∠3. Из этих двух равенств следует, что ∠1 = ∠3. Но углы 1 и 3 - накрест лежащие, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Теорема

Доказательство

Пусть при пересечении прямых а и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например ∠1 + ∠4 = 180° (см. рис. 102).

Так как углы 3 и 4 - смежные, то ∠3 + ∠4 = 180°. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Практические способы построения параллельных прямых

Признаки параллельности прямых лежат в основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов, используемых на практике. Рассмотрим, например, способ построения параллельных прямых с помощью чертёжного угольника и линейки. Чтобы построить прямую, проходящую через точку М и параллельную данной прямой а, приложим чертёжный угольник к прямой а, а к нему линейку так, как показано на рисунке 103. Затем, передвигая угольник вдоль линейки, добьёмся того, чтобы точка М оказалась на стороне угольника, и проведём прямую b. Прямые а и b параллельны, так как соответственные углы, обозначенные на рисунке 103 буквами α и β, равны.

Рис. 103 На рисунке 104 показан способ построения параллельных прямых при помощи рейсшины. Этим способом пользуются в чертёжной практике.

Рис. 104 Аналогичный способ применяется при выполнении столярных работ, где для разметки параллельных прямых используется малка (две деревянные планки, скреплённые шарниром, рис. 105).

Рис. 105

Задачи

186. На рисунке 106 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что а || b, если:

а) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
б) ∠1 = ∠6;
в) ∠l = 45°, а угол 7 в три раза больше угла 3.

Рис. 106

187. По данным рисунка 107 докажите, что АВ || DE.

Рис. 107

188. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.

189. Используя данные рисунка 108, докажите, что ВС || AD.

Рис. 108

190. На рисунке 109 АВ = ВС, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Докажите, что DE || АС.

Рис. 109

191. Отрезок ВК - биссектриса треугольника АВС. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВМ = МК. Докажите, что прямые КМ и АВ параллельны.

192. В треугольнике АВС угол А равен 40°, а угол ВСЕ, смежный с углом АСВ, равен 80°. Докажите, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой АВ.

193. В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Через вершину В проведена прямая BD так, что луч ВС - биссектриса угла ABD. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.

194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертёжного угольника и линейки проведите прямую, параллельную противоположной стороне.

195. Начертите треугольник АВС и отметьте точку D на стороне АС. Через точку D с помощью чертёжного угольника и линейки проведите прямые, параллельные двум другим сторонам треугольника.

Класс: 2

Цель урока:

• сформировать понятие о параллельности 2-х прямых, рассмотреть первый признак параллельности прямых;
• выработать умение применять признак при решении задач.

Задачи:

1. Образовательные: повторение и закрепление изученного материала, формирование понятия о параллельности 2-х прямых, доказательство 1-го признака параллельности 2-х прямых.
2. Воспитательные: воспитывать умение аккуратно вести записи в тетради и соблюдать правила построения чертежей.
3. Развивающие задачи: развитие логического мышления, памяти, внимания.

Оборудование урока:

• мультимедийный проектор;
• экран, презентации;
• чертёжные инструменты.

Ход урока

I. Организационный момент.

Приветствие, проверка готовности к уроку.

II. Подготовка к активной УПД.

Этап 1.

На первом уроке геометрии мы рассматривали взаимное расположение 2-х прямых на плоскости.

Вопрос. Сколько общих точек могут иметь две прямые?
Ответ. Две прямые могут иметь либо одну общую точку, либо не имеют не одной общей точки.

Вопрос. Как будут расположены относительно друг друга 2-е прямые, если они имеют одну общую точку?
Ответ. Если прямые имеют одну общую точку, то они пересекаются

Вопрос. Как расположены 2-е прямые относительно друг друга, если они не имеют общих точек?
Ответ. То в этом случае данные прямые не пересекаются.

Этап 2.

На прошлом уроке Вы получили задание сделать презентацию, где мы встречаемся с непересекающимися прямыми в нашей жизни и в природе. Сейчас мы посмотрим эти презентации и выберем из них лучшие. (В жюри вошли учащиеся, которым в силу низкого интеллекта сложно создать свои презентации.)

Просмотр презентаций, выполненных учащимися: «Параллельность прямых в природе и жизни», и выбор из них лучших.

III. Активная УПД (объяснение нового материала).

Этап 1.

Рисунок 1

Определение. Две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

На данной таблице изображены различные случаи расположения 2-х параллельных прямых на плоскости.

Рассмотрим, какие отрезки будут параллельными.

Рисунок 2

1) Если прямая a параллельна b, то и отрезки AB и CD параллельны.

2) Отрезок может быть параллелен прямой. Так отрезок MN параллелен прямой a.

Рисунок 3

3) Отрезок AB параллелен лучу h. Луч h параллелен лучу k.

4) Если прямая a перпендикулярна прямой c, и прямая b перпендикулярна прямой c, то прямые a и b параллельны.

Этап 2.

Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей.

Рисунок 4

Две параллельные прямые пересекаются третьей прямой в двух точках. При этом образуются восемь углов, обозначенных на рисунке числами.

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия (см. рисунок 4).

Существует три признака, параллельности двух прямых , связанных с этими углами. На этом уроке мы рассмотрим первый признак .

Этап 3.

Повторим материал, необходимый для доказательства этого признака.

Рисунок 5

Вопрос. Как называются углы, изображённые на рисунке 5?
Ответ. Углы AOC и COB называются смежными.

Вопрос. Какие углы называются смежными? Дайте определение.
Ответ. Два угла называются смежными, если у них одна сторона является общей, а две другие являются продолжениями друг друга.

Вопрос. Каким свойством обладают смежные углы?
Ответ. Смежные углы в сумме дают 180 градусов.
AOC + COB = 180°

Вопрос. Как называются углы 1 и 2?
Ответ. Углы 1 и 2 называются вертикальными.

Вопрос. Какими свойствами обладают вертикальные углы?
Ответ. Вертикальные углы равны между собой.

Этап 4.

Доказательство первого признака параллельности.

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Рисунок 6

Дано: а и b – прямые
AB – секущая
1 = 2
Доказать: a//b.

1-ый случай.

Рисунок 7

Если 1 и 2 прямые, то a перпендикулярен AB, и b перпендикулярен AB, то а//b.

2-ой случай.

Рисунок 8

Рассмотрим случай, когда 1 и 2 не прямые Разделим отрезок AB пополам точкой O.

Вопрос. Какими будут отрезки AO и OB по длине?
Ответ. Отрезки AO и OB равны по длине.

1) Из точки O проведём перпендикуляр к прямой а, ОН перпендикулярен a.

Вопрос. Каким будет угол 3?
Ответ. Угол 3 будет прямым.

2) От точки А на прямой b отложим циркулем отрезок АН 1 = ВН.

3) Проведём отрезок ОН 1 .

Вопрос. Какие треугольники образовались в результате доказательства?
Ответ. Треугольник ОНВ и треугольник ОН 1 А.

Докажем, что они равны.

Вопрос. Какие углы равны по условию теоремы?
Ответ. Угол 1 равен углу 2.

Вопрос. Какие стороны равны по построению.
Ответ. АО = ОВ и АН 1 = ВН

Вопрос. По какому признаку равны треугольники?
Ответ. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Вопрос. Каким свойством обладают равные треугольники?
Ответ. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.

Вопрос. Какие углы будут равны?
Ответ. 5 = 6, 3 = 4.

Вопрос. Как называются 5 и 6?
Ответ. Эти углы называются вертикальными.

Из этого следует, что точки: Н 1 , О, Н лежат на одной прямой.
Т.к. 3 – прямой, а 3 = 4, то 4 – прямой.

Вопрос. Как расположены прямые а и b по отношению к прямой НН 1 , если углы 3 и 4 прямые?
Ответ. Прямые а и b перпендикулярны HH 1 .

Вопрос. Что мы можем сказать о двух перпендикулярах к одной прямой?
Ответ. Два перпендикуляра одной прямой параллельны.

Итак, а//b. Теорема доказана.

Сейчас я повторю все доказательство сначала, а Вы внимательно меня послушаете постараетесь все понять запомнить.

IV. Закрепление нового материала.

Работа по группам с разным уровнем развития интеллекта, с последующей проверкой на экране и на доске. У доски работают 3 ученика (по одному из каждой группы).

№1 (для учащихся со сниженным уровнем интеллектуального развития).

Дано: а и b прямые
с – секущая
1 = 37°
7 = 143°
Доказать: а//b.

Решение.

7 = 6 (вертикальные) 6 = 143°
1 + 4 = 180° (смежные) 4 =180° – 37° = 143°
4 = 6 = 143°, а они накрест лежащие а//b 5 = 48°, 3 и 5 – накрест лежащие углы, они равны a//b.

Рисунок 11

V. Итог урока.

Итог урока проводится с использованием рисунков 1-8.

Производится оценка деятельности учащихся на уроке (каждый ученик получает соответствующий смайлик).

Домашнее задание: учить – стр. 52-53; решить №186 (б, в).

Определение 1

Прямую $с$ называют секущей для прямых $а$ и $b$, если она пересекает их в двух точках.

Рассмотрим две прямые $a$ и $b$ и секущую прямую $с$.

При их пересечении возникают углы, которые обозначим цифрами от $1$ до $8$.

У каждого из этих углов есть название, которое часто приходиться употреблять в математике:

• пары углов $3$ и $5$, $4$ и $6$ называются накрест лежащими ;
• пары углов $1$ и $5$, $4$ и $8$, $2$ и $6$, $3$ и $7$ называют соответственными ;
• пары углов $4$ и $5$, $5$ и $6$ называют односторонними .

Признаки параллельности прямых

Теорема 1

Равенство пары накрест лежащих углов для прямых $a$ и $b$ и секущей $с$ говорит о том, что прямые $a$ и $b$ – параллельны:

Доказательство .

Пусть накрест лежащие углы для прямых $а$ и $b$ и секущей $с$ равны: $∠1=∠2$.

Покажем, что $a \parallel b$.

При условии, что углы $1$ и $2$ будут прямыми, получим, что прямые $а$ и $b$ будут перпендикулярными относительно прямой $АВ$, а значит – параллельными.

При условии, что углы $1$ и $2$ не являются прямыми, проведем из точки $О$ – середины отрезка $АВ$, перпендикуляр $ОН$ к прямой $а$.

На прямой $b$ отложим отрезок $BH_1=AH$ и проведем отрезок $OH_1$. Получаем два равных треугольника $ОНА$ и $ОH_1В$ по двум сторонам и углу между ними ($∠1=∠2$, $АО=ВО$, $BH_1=AH$), поэтому $∠3=∠4$ и $∠5=∠6$. Т.к. $∠3=∠4$, то точка $H_1$ лежит на луче $ОН$, таким образом точки $Н$, $О$ и $H_1$ принадлежат одной прямой. Т.к. $∠5=∠6$, то $∠6=90^{\circ}$. Таким образом, прямые $а$ и $b$ являются перпендикулярными относительно прямой $HH_1$ являются параллельными. Теорема доказана.

Теорема 2

Равенство пары соответственных углов для прямых $a$ и $b$ и секущей $с$ говорит о том, что прямые $a$ и $b$ – параллельны:

если $∠1=∠2$, то $a \parallel b$.

Доказательство .

Пусть соответственные углы для прямых $а$ и $b$ и секущей $с$ равны: $∠1=∠2$. Углы $2$ и $3$ являются вертикальными, поэтому $∠2=∠3$. Значит $∠1=∠3$. Т.к. углы $1$ и $3$ – накрест лежащие, то прямые $а$ и $b$ являются параллельными. Теорема доказана.

Теорема 3

Если сумма двух односторонних углов для прямых $a$ и $b$ и секущей $с$ равна $180^{\circ}C$, то прямые $a$ и $b$ – параллельны:

если $∠1+∠4=180^{\circ}$, то $a \parallel b$.

Доказательство .

Пусть односторонние углы для прямых $а$ и $b$ и секущей $с$ в сумме дают $180^{\circ}$, например

$∠1+∠4=180^{\circ}$.

Углы $3$ и $4$ являются смежными, поэтому

$∠3+∠4=180^{\circ}$.

Из полученных равенств видно, что накрест лежащие углы $∠1=∠3$, из чего следует, что прямые $а$ и $b$ являются параллельными.

Теорема доказана.

Из рассмотренных признаков вытекает параллельность прямых.

Примеры решения задач

Пример 1

Точка пересечения делит отрезки $АВ$ и $CD$ пополам. Доказать, что $AC \parallel BD$.

Дано : $AO=OB$, $CO=OD$.

Доказать : $AC \parallel BD$.

Доказательство .

Из условия задачи $AO=OB$, $CO=OD$ и равенства вертикальных углов $∠1=∠2$ согласно I-му признаку равенства треугольников следует, что $\bigtriangleup COA=\bigtriangleup DOB$. Таким образом, $∠3=∠4$.

Углы $3$ и $4$ – накрест лежащие при двух прямых $AC$ и $BD$ и секущей $AB$. Тогда согласно I-му признаку параллельности прямых $AC \parallel BD$. Утверждение доказано.

Пример 2

Дан угол $∠2=45^{\circ}$, а $∠7$ в $3$ раза больше данного угла. Доказать, что $a \parallel b$.

Дано : $∠2=45^{\circ}$, $∠7=3∠2$.

Доказать : $a \parallel b$.

Доказательство :

1. Найдем значение угла $7$:

$∠7=3 \cdot 45^{\circ}=135^{\circ}$.

1. Вертикальные углы $∠5=∠7=135^{\circ}$, $∠2=∠4=45^{\circ}$.
2. Найдем сумму внутренних углов $∠5+∠4=135^{\circ}+45^{\circ}=180^{\circ}$.

Согласно III-му признаку параллельности прямых $a \parallel b$. Утверждение доказано.

Пример 3

Дано : $\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup ADB$.

Доказать : $AC \parallel BD$, $AD \parallel BC$.

Доказательство :

У рассматриваемых рисунков сторона $АВ$ – общая.

Т.к. треугольники $АВС$ и $ADB$ равны, то $AD=CB$, $AC=BD$, а также соответствующие углы равны $∠1=∠2$, $∠3=∠4$, $∠5=∠6$.

Пара углов $3$ и $4$ – накрест лежащие для прямых $АС$ и $BD$ и соответствующей секущей $АВ$, поэтому согласно I-му признаку параллельности прямых $AC \parallel BD$.

Пара углов $5$ и $6$ – накрест лежащие для прямых $AD$ и $BC$ и соответствующей секущей $АВ$, поэтому согласно I-му признаку параллельности прямых $AD \parallel BC$.