Свойства сложения. Свойства сложения натуральных чисел Сочетательное свойство сложения определение

Начертим на листке в клетку прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см. Разобьем его на квадраты со стороной 1 см (рис. 143 ). Подсчитаем количество клеток, расположенных в прямоугольнике. Это можно сделать, например, так.

Количество квадратов со стороной 1 см равно 5 * 3 . Каждый такой квадрат состоит из четырех клеток. Поэтому общее число клеток равно (5 * 3 ) * 4 .

Эту же задачу можно решить иначе. Каждый из пять столбцов прямоугольника состоит из трех квадратов со стороной 1 см. Поэтому в одном столбце содержится 3 * 4 клеток. Следовательно, всего клеток будет 5 * (3 * 4 ).

Подсчет клеток на рисунке 143 двумя способами иллюстрирует сочетательное свойство умножения для чисел 5, 3 и 4 . Имеем: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

(ab)c = a(bc)

Из переместительного и сочетательно свойств умножения следует, что при умножении нескольких чисел множители можно менять местами и заключать в скобки, тем самым определяя порядок вычислений .

Например, верны равенства:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

На рисунке 144 отрезок AB делит рассмотренный выше прямоугольник на прямоугольник и квадрат.

Подсчитаем количество квадратов со стороной 1 см двумя способами.

С одной стороны, в образовавшемся квадрате их содержится 3 * 3, а в прямоугольнике − 3 * 2 . Всего получим 3 * 3 + 3 * 2 квадратов. С другой стороны, в каждой из трех строчек данного прямоугольника находится 3 + 2 квадрата. Тогда их общее количество равно 3 * (3 + 2 ).

Равенсто 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 иллюстрирует распределительное свойство умножения относительно сложения .

Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

В буквенном виде это свойство записывают так:

a(b + c) = ab + ac

Из распределительного свойства умножения относительно сложения следует, что

ab + ac = a(b + c).

Это равенство позволяет формулу P = 2 a + 2 b для нахождения периметра прямоугольника записать в таком виде:

P = 2 (a + b).

Заметим, что распределительное свойство справедливо для трех и более слагаемых. Например:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Также справедливо распределительное свойство умножения относительно вычитания: если b > c или b = c, то

a(b − c) = ab − ac

Пример 1 . Вычислите удобным способом:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1 ) Используем переместительное, а затме сочетательное свойства умножения:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2 ) Имеем:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Пример 2 . Упростите выражение:

1 ) 4 a * 3 b;

2 ) 18 m − 13 m.

1 ) Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, получаем:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2 ) Используя распределительное свойство умножения относительно вычитания, получаем:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Пример 3 . Запишите выражение 5 (2 m + 7 ) так, чтобы оно не содержало скобок.

Согласно распределительному свойству умножения относительно сложения имеем:

5 (2 m + 7 ) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35 .

Такое преобразование называют раскрытием скобок .

Пример 4 . Вычислите удобным способом значение выражения 125 * 24 * 283 .

Решение. Имеем:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Пример 5 . Выполните умножение: 3 сут 18 ч * 6 .

Решение. Имеем:

3 сут 18 ч * 6 = 18 сут 108 ч = 22 сут 12 ч.

При решении примера было использовано распределительное свойство умножения относительно сложения:

3 сут 18 ч * 6 = (3 сут + 18 ч) * 6 = 3 сут * 6 + 18 ч * 6 = 18 сут + 108 ч = 18 сут + 96 ч + 12 ч = 18 сут + 4 сут + 12 ч = 22 сут 12 ч.

Можно отметить ряд результатов, присущих этому действию. Эти результаты называют свойствами сложения натуральных чисел . В этой статье мы подробно разберем свойства сложения натуральных чисел, запишем их при помощи букв и приведем поясняющие примеры.

Навигация по странице.

Сочетательное свойство сложения натуральных чисел.

Теперь приведем пример, иллюстрирующий сочетательное свойство сложения натуральных чисел.

Представим ситуацию: с первой яблони упало 1 яблоко, а со второй яблони - 2 яблока и еще 4 яблока. А теперь рассмотрим такую ситуацию: с первой яблони упало 1 яблоко и еще 2 яблока, а со второй яблони упало 4 яблока. Понятно, что на земле и в первом и во втором случае окажется одинаковое количество яблок (что можно проверить пересчетом). То есть, результат сложения числа 1 с суммой чисел 2 и 4 равен результату сложения суммы чисел 1 и 2 с числом 4 .

Рассмотренный пример позволяет нам сформулировать сочетательное свойство сложения натуральных чисел: чтобы прибавить к данному числу данную сумму двух чисел, можно к этому числу прибавить первое слагаемое данной суммы и к полученному результату прибавить второе слагаемое данной суммы . Это свойство с помощью букв можно записать так: a+(b+c)=(a+b)+c , где a , b и c – произвольные натуральные числа.

Обратите внимание, что в равенстве a+(b+c)=(a+b)+c присутствуют круглые скобки «(» и «)». Скобки используются в выражениях для указания порядка выполнения действий – сначала выполняются действия в скобках (подробнее об этом написано в разделе ). Иными словами, в скобки заключаются выражения, значения которых вычисляются в первую очередь.

В заключении этого пункта отметим, что сочетательное свойство сложения позволяет однозначно определить сложение трех, четырех и большего количества натуральных чисел .

Свойство сложения нуля и натурального числа, свойство сложения нуля с нулем.

Мы знаем, что нуль НЕ является натуральным числом. Так почему же мы решили рассмотреть свойство сложения нуля и натурального числа в этой статье? На это есть три причины. Первая: это свойство используется при сложении натуральных чисел столбиком . Вторая: это свойство используется при вычитании натуральных чисел . Третья: если считать, что нуль означает отсутствие чего-либо, то смысл сложения нуля и натурального числа совпадает со смыслом сложения двух натуральных чисел .

Проведем рассуждения, которые помогут нам сформулировать свойство сложения нуля и натурального числа. Представим, что в ящике нет ни одного предмета (иными словами, в ящике находится 0 предметов), и в него помещают a предметов, где a – любое натуральное число. То есть, сложили 0 и a предметов. Понятно, что после этого действия в ящике стало a предметов. Следовательно, справедливо равенство 0+a=a .

Аналогично, если в ящике находится a предметов и в него добавляют 0 предметов (то есть, не добавляют ни одного предмета), то после этого действия в ящике окажутся a предметов. Таким образом, a+0=a .

Теперь мы можем привести формулировку свойства сложения нуля и натурального числа: сумма двух чисел, одно из которых равно нулю, равна второму числу . Математически это свойство можно записать в виде следующего равенства: 0+a=a или a+0=a , где a – произвольное натуральное число.

Отдельно обратим внимание на то, что при сложении натурального числа и нуля остается верным переместительное свойство сложения, то есть, a+0=0+a .

Наконец, сформулируем свойство сложения нуля с нулем (оно достаточно очевидно и не нуждается в дополнительных комментариях): сумма двух чисел, каждое из которых равно нулю, равна нулю . То есть, 0+0=0 .

Теперь пришло время разобраться с тем, как выполняется сложение натуральных чисел .

Список литературы.

• Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
• Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

a, b - числа, над которыми выполняется сложение, с - результат сложения.

Сложение многозначных чисел производится поразрядно.

• Пример: 9067542 + 34981 = 9102523

Законы сложения.

• 1) переместительный: a + b = b + a;

Пример. 310 + 1454 = 1454 + 310. Каким бы мы способом не складывали результат будет равен 1764.

• 2) сочетательный: (a + b) + c = a + (b + c);

Пример: (329 + 85) + 120 = 329 + (85 + 120) = 329 + 205 =534;

• 3) закон сложения числа с нулём: а + 0 = а.

Вычитание

a (уменьшаемое) - b (вычитаемое) = c (разность)

• Пример: 42397 - 17963 = 24434

Свойства действий вычитания:

• 1) закон вычитания из суммы числа:

(a + b) - c = (a - c) + b, если а > c или a = c;

• 2) закон вычитания из числа суммы:

a - (b + c) = (a - b) - c;

• 3) закон вычитания из числа числа:

• 4) закон вычитания из числа нуля:

• 5) закон вычитания из суммы суммы:

(a + b) - (c + d) = ;

Задача как пример действий сложения и вычитания

Вычислите удобным способом:

• 1) (4981 - 2992) - 808;
• 2) (3975 + 5729) - (5729 + 975).

Применяем 2-й и 5-й законы вычитания:

• 1) (4981- 2992) - 808 = 4981 - (2992 + 808) = 4981 - 3800 = 1181;
• 2) (3975 + 5729) - (5729 + 975) = (3975 - 975) + (5729 - 5720)= 3000 + 0 = 3000

Умножение

Умножить число а на число b (b>1)- значит найти сумму b слагаемых (каждое слагаемое равно а).

a x b= а + а + ... + а

Если b = 1, то а x 1 = a.

a (первый множитель) x b (второй множитель) = c (произведение)

Например: 57 + 57 + 57 + 34 + 34 = 57 х 3 + 34 х 2 = 171 + 68 + 239

Законы умножения

• 1) переместительный: a x b = b x a;

Пример. 15 х 110 = 110 х 15.

• 2) сочетательный: (a x b) x c = a x (b x c);

Пример: (9 х 30) х 10= 9 х (30 х 10) = 9 х 300= 2700;

(65 х 25) х 44 = (25 х 65) х 44 = 25 х (65 X 44)=25 х 2860 = 71500.

• 3) умножение на ноль:0 x a = 0;

Пример: 0 х 10 = 0.

• 4) распределительный закон умножения относительно действия сложения (вычитания):

a x (b + c) = a x b + a x c;

Задачи как пример действия умножения

Задача 1. Вычислить удобным способом:

• 1) (37 х 125) х 8;
• 2) 49 х 84 + 49 х 83 - 49 х 67.

1) (37 х 125) х 8 = 37 х (125 х 8) = 37 х 1000 = 37000;

2) 49 х 84 + 49 х 83 - 49 х 67 = 49 х (84 + 83 - 67) = 49 х 100 = 4900.

Задача 2. 1 квт/ч стоит 12 руб. Электрический утюг за 1 ч работы расходует 2 квт/ч. Утюгом два дня гладили бельё: в первый день- 3 ч, во второй- 2ч. Сколько стоит электроэнергия, израсходованная за два дня? Задачу решите сами, а мы дадим только ответы: за 3 ч- 72руб; за 2ч- 48руб.

Деление

а (делимое) : b (делитель) = с (частное)

Законы деления:

• 1) а: 1 = а, так как а х 1 = а;
• 2) 0: а =0, так как 0 х а = 0;
• 3) на 0 нельзя делить!

2224222: 2222 = 1001

Закон деления суммы (разности) на число:

• 1) (а + b) : с = а: с + b: с, с не равно 0;
• 2) (а - b) : с = а: с -b: с, с не равно 0;

Пример: (4800 + 9300) : 300 = 4800: 300 + 9300: 300 = 16 + 31 + 47.

Закон деления произведения на число:

(а х b) :с = (а: с) х b = (b: с) х а, с не равно 0.

Прибавить одно число к другому довольно просто. Рассмотрим пример, 4+3=7. Это выражение означает, что к четырем единицам добавили три единицы и в итоге получили семь единиц.
Числа 3 и 4, которые мы сложили называется слагаемыми . А результат сложение число 7 называется суммой .

Сумма — это сложение чисел. Знак плюс “+”.
В буквенном виде этот пример будет выглядеть так:

a+ b= c

Компоненты сложения:
a — слагаемое, b — слагаемые, c – сумма.
Если мы к 3 единицам добавим 4 единицы, то в результате сложения получим тот же результат он будет равен 7.

Из этого примера делаем вывод, что как бы мы не меняли местами слагаемые ответ остается неизменным:

Называется такое свойство слагаемых переместительным законом сложения .

Переместительный закон сложения.

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

В буквенной записи переместительный закон выглядит так:

a+ b= b+ a

Если мы рассмотрим три слагаемых, например, возьмем числа 1, 2 и 4. И выполним сложение в таком порядке, сначала прибавим 1+2, а потом выполним сложение к получившейся сумме 4, то получим выражение:

(1+2)+4=7

Можем сделать наоборот, сначала сложить 2+4, а потом к полученной сумме прибавить 1. У нас пример будет выглядеть так:

1+(2+4)=7

Ответ остался прежним. У обоих видов сложения одного и того же примера ответ одинаковый. Делаем вывод:

(1+2)+4=1+(2+4)

Это свойство сложения называется сочетательным законом сложения .

Переместительный и сочетательный закон сложения работает для всех неотрицательных чисел.

Сочетательный закон сложения.

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

(a+ b)+ c= a+(b+ c)

Сочетательный закон работает для любого количества слагаемых. Этот закон мы используем, когда нам нужно сложить числа в удобном нам порядке. Например, сложим три числа 12, 6, 8 и 4. Удобнее будет сначала сложить 12 и 8, а потом прибавить к полученной сумме сумму двух чисел 6 и 4.
(12+8)+(6+4)=30

Свойство сложения с нулем.

При сложении числа с нулем, в результате сумма будет тем же самым числом.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

В буквенном выражение сложение с нулем будет выглядеть так:

a+0= a
0+ a= a

Вопросы по теме сложение натуральных чисел:
Таблица сложения, составьте и посмотрите как работает свойство переместительного закона?
Таблица сложения от 1 до 10 может выглядеть так:

Второй вариант таблицы сложения.

Если посмотрим на таблицы сложения, видно как работает переместительный закон.

В выражении a+b=c суммой, что будет являться?
Ответ: сумма — это результат сложения слагаемых. a+b и с.

В выражении a+b=c слагаемыми, что будет являться?
Ответ: a и b. Слагаемые – это числа, которые мы складываем.

Что произойдет с числом если к нему прибавить 0?
Ответ: ничего, число не поменяется. При сложении с нулем, число остается прежнем, потому что нуль это отсутствие единиц.

Сколько слагаемых должно быть в примере, чтобы было можно применить сочетательный закон сложения?
Ответ: от трех слагаемых и больше.

Запишите переместительный закон в буквенном выражении?
Ответ: a+b=b+a

Примеры на задачи.
Пример №1:
Запишите ответ у представленных выражений: а) 15+7 б) 7+15
Ответ: а) 22 б) 22

Пример №2:
Примените сочетательный закон к слагаемым: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Ответ: 20.

Пример №3:
Решите выражение:
а) 5921+0 б) 0+5921
Решение:
а) 5921+0 =5921
б) 0+5921=5921

Тема, которой посвящен этот урок, - «Свойства сложения».На нем вы познакомитесь с переместительным и сочетательным свойствами сложения, рассмотрев их на конкретных примерах. Узнаете, в каких случаях можно ими пользоваться, чтобы сделать процесс вычисления более простым. Проверочные примеры помогут определить, насколько хорошо вы усвоили изученный материал.

Урок: Свойства сложения

Внимательно посмотрите на выражение:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Нам нужно найти его значение. Давайте это сделаем.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Результат выражения 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Скажите, удобно ли было вычислять? Вычислять было не совсем удобно. Посмотрите еще раз на числа этого выражения. Нельзя ли их поменять местами так, чтобы вычисления были более удобными?

Если мы перегруппируем числа по-другому:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Окончательный результат выражения 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Мы видим, что результаты выражений получились одинаковые.

Слагаемые можно менять местами, если это удобно для вычислений, и значение суммы от этого не изменится.

В математике существует закон: Переместительный закон сложения . Он гласит, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Дядя Федор и Шарик поспорили. Шарик находил значение выражения так, как оно записано, а дядя Федор сказал, что знает другой, более удобный способ вычисления. Видите ли вы более удобный способ вычисления?

Шарик решал выражение так, как оно записано. А дядя Федор, сказал, что знает закон, который разрешает менять слагаемые местами, и поменял местами числа 25 и 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Мы видим, что результат остался таким же, но считать стало гораздо проще.

Посмотрите на следующие выражения и прочитайте их.

6 + (24 + 51) = 81 (к 6 прибавить сумму 24 и 51)
Нет ли удобного способа для вычисления?
Мы видим, что если прибавить 6 и 24, то мы получим круглое число. К круглому числу всегда легче что-то прибавлять. Возьмем в скобки сумму чисел 6 и 24.
(6 + 24) + 51 = …
(к сумме чисел 6 и 24 прибавить 51)

Вычислим значение выражения и посмотрим, изменилось ли значение выражения?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Мы видим, что значение выражения осталось прежним.

Потренируемся еще на одном примере.

(27 + 19) + 1 = 47 (к сумме чисел 27 и 19 прибавить 1)
Какие числа удобно сгруппировать так, чтобы получился удобный способ?
Вы догадались, что это числа 19 и 1. Сумму чисел 19 и 1 возьмем в скобки.
27 + (19 + 1) = …
(к 27 прибавить сумму чисел 19 и 1)
Найдем значение этого выражения. Мы помним, что сначала выполняется действие в скобках.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Значение нашего выражения осталось таким же.

Сочетательный закон сложения : два соседних слагаемых можно заменить их суммой.

Теперь потренируемся пользоваться обоими законами. Нам нужно вычислить значение выражения:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Сначала воспользуемся переместительным свойством сложения, которое разрешает менять слагаемые местами. Поменяем местами слагаемые 14 и 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Теперь воспользуемся сочетательным свойством, которое разрешает нам два соседних слагаемых заменять их суммой.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Сначала узнаем значение суммы 38 и 2.

Теперь сумму 14 и 6.

3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» ().

Сделай дома

1. Вычислите сумму слагаемых по-разному:

а) 5 + 3 + 5 б) 7 + 8 + 13 в) 24 + 9 + 16

2. Вычислите результаты выражений:

а) 19 + 4 + 16 + 1 б) 8 + 15 + 12 + 5 в) 20 + 9 + 30 + 1

3. Вычислите сумму удобным способом:

а) 10 + 12 + 8 + 20 б) 17 + 4 + 3 + 16 в) 9 + 7 + 21 + 13