Вывести расчетную формулу из закона гука. Закон гука определение и формула

Всё, что происходит в природе, основывается на действии различных сил – закон Гука является тому подтверждением. Это одно из основополагающих явлений науки.

Этот процесс является определяющим звеном процессов сжатия, изгибов, растяжения и других видоизменений материалов различных структур.

Разберёмся, в чем же заключается этот закон, как можно применить правило Гука на практике, и всегда ли оно выполняется.

Определение и формула закона Гука

Давно люди пытались объяснить происхождение явлений сжатия и растяжения. Отсутствие знаний являлось причиной накопления экспериментальных данных. Собственно, свою теорему английский испытатель Гук открыл из своих наблюдений и опытов. Только позже, после смерти ученого, современники назовут выведенную им аксиому – законом Гука.

Исследователь заметил, что при каждом упругом воздействии на объект появляется сила, которая возвращает его в исходную форму. Это и послужило началом экспериментов.

Аксиома Гука гласит:

При очень маленьких упругих воздействиях создается сила, пропорциональная изменению объекта, но противоположного знака по абсолютной величине перемещения его частиц.

Математически это определение можно записать следующим образом:

F x = F упр = — k * x ,

где в левой части указывается:

сила, действующая на тело;

x – перемещение тела (м);

k – коэффициент деформации, зависящий от свойств объекта.

Единица измерения, как и любой другой силы, является Ньютон.

Кстати, k еще называют жёсткостью тела, она измеряется в H/м. Жесткость обусловлена не внешними параметрами объекта, а зависит от его материала.

Правда, стоит учесть, что его закон справедлив только для упругих деформаций.

Сила упругости

Формулировка основывается на определении силы упругости. В чем же заключается ее отличие от других воздействий на тело?

На самом деле, сила упругости может возникать в любой точке тела при его упругой деформации. Что понимается под таким воздействием? Это изменение формы тела, при котором объект через определенный период времени возвращается в исходный вид.

А это в свою очередь происходит из-за молекулярного воздействия частиц: при любой деформации происходит изменение расстояния между молекулами объекта, а кулоновские силы притяжения или отталкивания стремятся вернуть тело в исходное положение.

Самая простая модель, демонстрирующая действие сил упругости, является пружинным маятником.

Какая формула выражает аксиому, установленную ученым в этом случае?

Тут аксиома Гука запишется в виде:

ε = α * S ,

где ε – относительное удлинение тела (его величина равна отношению удлинения к перемещению);

α – коэффициент пропорциональности (обратно пропорционален модулю Юнга Е);

S – механическое напряжение объекта (его величина равна отношению силы упругости к площади сечения тела).

Учитывая вышесказанное, уравнение можно записать так:

Δx / x = F упр / E * S ,

где Δx – максимальный сдвиг при деформации.

Стоит преобразовать данное выражение, тогда получим следующее:

F упр = (E * S / x ) Δx = k * Δx.

Поскольку сила упругости противоположна внешнему воздействию, то кратко закон читается таким образом:

F упр = — k * Δx.

В нем не зря упомянуты малые по величине деформации: при них Δx ̴ x, следовательно, F упр = — k * x.

При каких условиях выполняется закон Гука

А теперь посмотрим, каковы границы применимости этого выражения, и в каких условиях оно вообще выполняется.

Следует знать, что основным условием является:

s = E * e ,

где слева в уравнении находится напряжение, возникающее при деформации, а в правой части модуль Юнга и удлинение.

Причем, E зависит от характеристик частиц объекта, но не от его параметров формы, а второй множитель берется по модулю.

В целом аксиома Гука справедлива для многих ситуаций.

Так, при упругом изгибе пружины, лежащей на двух опорах, математическая запись теоремы выглядит следующим образом:

F упр = — m * g

F упр = — k * x

В иных ситуациях (при кручении, различных маятниках и других деформирующих процессах) аналогично записывается воздействие сил на объект.

Как применить закон упругой деформации на практике

Этот закон (обобщенный для многих ситуаций) является базовым в динамике и статике тел, поэтому его применимость осуществляется в областях, где необходимо проводить расчет жесткости и напряжения деформации объектов.

В первую очередь, правило Гука необходимо применять в строительстве и технике. Так, рабочие должны точно знать, какой максимальный груз может поднять башенный кран или какую нагрузку выдержит фундамент будущего здания.

Ни один из поездов не обходится без деформации растяжения и сжатия, поэтому закон Гука справедлив и для этих ситуаций. Кроме того, механизм и принцип действия любых динамометров, которыми снабжены некоторые части технического оборудования, также основываются на этом замечательном законе.

Закон Гука выполняется во всех объектах, являющихся аналогами модели «пружинный маятник».

В обычной жизни, дома, можно видеть применимость этого закона в пружинах некоторых механизмов.

Таким образом, закон Гука применим во многих сферах жизни человека. Он является одним из базовых явлений, на которых держится существование всей жизни на планете.

Заключение

Подводя итоги, следует отметить, что закон Гука – универсальный помощник в задачах с решениями по деформации объектов не только в студенческих книжках по сопромату, но и в различных инженерных областях.

Именно эти простые задания помогают ученым и мастерам создавать новые технические модели, необходимые в условиях современного технического прогресса.

Темы кодификатора ЕГЭ: силы в механике, сила упругости, закон Гука.

Как мы знаем, в правой части второго закона Ньютона стоит равнодействующая (то есть векторная сумма) всех сил, приложенных к телу. Теперь нам предстоит изучить силы взаимодействия тел в механике. Их три вида: сила упругости, гравитационная сила и сила трения. Начинаем с силы упругости.

Деформация.

Силы упругости возникают при деформациях тел. Деформация - это изменение формы и размеров тела. К деформациям относятся растяжение, сжатие, кручение, сдвиг и изгиб.
Деформации бывают упругими и пластическими. Упругая деформация полностью исчезает после прекращения действия вызывающих её внешних сил, так что тело полностью восстанавливает форму и размеры. Пластическая деформация сохраняется (быть может, частично) после снятия внешней нагрузки, и тело уже не возвращается к прежним размерам и форме.

Частицы тела (молекулы или атомы) взаимодействуют друг с другом силами притяжения и отталкивания, имеющими электромагнитное происхождение (это силы, действующие между ядрами и электронами соседних атомов). Силы взаимодействия зависят о расстояний между частицами. Если деформации нет, то силы притяжения компенсируются силами отталкивания. При деформации изменяются расстояния между частицами, и баланс сил взаимодействия нарушается.

Например, при растяжении стержня расстояния между его частицами увеличиваются, и начинают преобладать силы притяжения. Наоборот, при сжатии стержня расстояния между частицами уменьшаются, и начинают преобладать силы отталкивания. В любом случае возникает сила, которая направлена в сторону, противоположную деформации, и стремится восстановить первоначальную конфигурацию тела.

Сила упругости - это сила, возникающая при упругой деформации тела и направленная в сторону, противоположную смещению частиц тела в процессе деформации. Сила упругости:

1. действует между соседними слоями деформированного тела и приложена к каждому слою;
2. действует со стороны деформированного тела на соприкасающееся с ним тело, вызывающее деформацию, и приложена в месте контакта данных тел перпендикулярно их поверхностям (типичный пример - сила реакции опоры).

Силы, возникающие при пластических деформациях, не относятся к силам упругости. Эти силы зависят не от величины деформации, а от скорости её возникновения. Изучение таких сил
выходит далеко за рамки школьной программы.

В школьной физике рассматриваются растяжения нитей и тросов, а также растяжения и сжатия пружин и стержней. Во всех этих случаях силы упругости направлены вдоль осей данных тел.

Закон Гука.

Деформация называется малой , если изменение размеров тела много меньше его первоначальных размеров. При малых деформациях зависимость силы упругости от величины деформации оказывается линейной.

Закон Гука . Абсолютная величина силы упругости прямо пропорциональна величине деформации. В частности, для пружины, сжатой или растянутой на величину , сила упругости даётся формулой:

(1)

где - коэффициент жёсткости пружины.

Коэффициент жёсткости зависит не только от материала пружины, но также от её формы и размеров.

Из формулы (1) следует, что график зависимости силы упругости от (малой) деформации является прямой линией (рис. 1 ):

Рис. 1. Закон Гука

Коэффициент жёсткости - о угловой коэффициент в уравнении прямой . Поэтому справедливо равенство:

где - угол наклона данной прямой к оси абсцисс. Это равенство удобно использовать при экспериментальном нахождении величины .

Подчеркнём ещё раз, что закон Гука о линейной зависимости силы упругости от величины деформации справедлив лишь при малых деформациях тела. Когда деформации перестают быть малыми, эта зависимость перестаёт быть линейной и приобретает более сложный вид. Соответственно, прямая линия на рис. 1 - это лишь небольшой начальный участок криволинейного графика, описывающего зависимость от при всех значениях деформации .

Модуль Юнга.

В частном случае малых деформаций стержней имеется более детальная формула, уточняющая общий вид ( 1 ) закона Гука.

Именно, если стержень длиной и площадью поперечного сечения растянуть или сжать
на величину , то для силы упругости справедлива формула:

Здесь - модуль Юнга материала стержня. Этот коэффициент уже не зависит от геометрических размеров стержня. Модули Юнга различных веществ приведены в справочных таблицах.

Это сила возникает в результате деформации (изменения первоначального состояния вещества). Например, когда растягиваем пружину, мы увеличиваем расстояние между молекулами материала пружины. Когда сжимаем пружину - уменьшаем. Когда перекручиваем или сдвигаем. Во всех этих примерах возникает сила, которая препятствует деформации - сила упругости.

Закон Гука

Сила упругости направлена противоположно деформации.

Так как тело представляем в виде материальной точки, силу можно изображать с центра

При последовательном соединении, например, пружин жесткость рассчитывается по формуле

При параллельном соединении жесткость

Жесткость образца. Модуль Юнга.

Модуль Юнга характеризует упругие свойства вещества. Это постоянная величина, зависящая только от материала, его физического состояния. Характеризует способность материала сопротивляться деформации растяжения или сжатия. Значение модуля Юнга табличное.

Вес тела

Вес тела - это сила, с которой предмет воздействует на опору. Вы скажете, так это же сила тяжести! Путаница происходит в следующем: действительно часто вес тела равен силе тяжести, но это силы совершенно разные. Сила тяжести - сила, которая возникает в результате взаимодействия с Землей. Вес - результат взаимодействия с опорой. Сила тяжести приложена в центре тяжести предмета, вес же - сила, которая приложена на опору (не на предмет)!

Формулы определения веса нет. Обозначается эта силы буквой .

Сила реакции опоры или сила упругости возникает в ответ на воздействие предмета на подвес или опору, поэтому вес тела всегда численно одинаков силе упругости, но имеет противоположное направление.

Сила реакции опоры и вес - силы одной природы, согласно 3 закону Ньютона они равны и противоположно направлены. Вес - это сила, которая действует на опору, а не на тело. Сила тяжести действует на тело.

Вес тела может быть не равен силе тяжести. Может быть как больше, так и меньше, а может быть и такое, что вес равен нулю. Это состояние называется невесомостью . Невесомость - состояние, когда предмет не взаимодействует с опорой, например, состояние полета: сила тяжести есть, а вес равен нулю!

Определить направление ускорения возможно, если определить, куда направлена равнодействующая сила.

Обратите внимание, вес - сила, измеряется в Ньютонах. Как верно ответить на вопрос: "Сколько ты весишь"? Мы отвечаем 50 кг, называя не вес, а свою массу! В этом примере, наш вес равен силе тяжести, то есть примерно 500Н!

Перегрузка - отношение веса к силе тяжести

Сила Архимеда

Сила возникает в результате взаимодействия тела с жидкость (газом), при его погружении в жидкость (или газ). Эта сила выталкивает тело из воды (газа). Поэтому направлена вертикально вверх (выталкивает). Определяется по формуле:

В воздухе силой Архимеда пренебрегаем.

Если сила Архимеда равна силе тяжести, тело плавает. Если сила Архимеда больше, то оно поднимается на поверхность жидкости, если меньше - тонет.

Электрические силы

Существуют силы электрического происхождения. Возникают при наличии электрического заряда. Эти силы, такие как Сила Кулона, сила Ампера, сила Лоренца.

Законы Ньютона

I закон Ньютона

Существуют такие системы отсчета, которые называются инерциальными, относительно которых тела сохраняют свою скорость неизменной, если на них не действуют другие тела или действие других сил скомпенсированно.

II закон Ньютона

Ускорение тела прямопропорционально равнодействующей сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально его массе:

III закон Ньютона

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению.

Локальная система отсчёта - это система отсчёта, которая может считаться инерциальной, но лишь в бесконечно малой окрестности какой-то одной точки пространства-времени, или лишь вдоль какой-то одной незамкнутой мировой линии.

Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике.

Преобразования Галилея. Рассмотрим две системы отсчета движущиеся друг относительно друга и с постоянной скоростью v 0 .Одну из этих систем обозначим буквой K. Будем считать неподвижной. Тогда вторая система Kбудет двигаться прямолинейно и равномерно. Выберем координатные оси x,y,z системы K и x",y",z" системы K" так что оси x и x" совпадали, а оси y и y" , z и z", были параллельны друг другу. Найдем связь между координатами x,y,z некоторой точки P в системе K и координатами x",y",z" той же точки в системе K". Если начать отсчёт времени с того момента, когда начало координат системы, совпадали, то x=x"+v 0 , кроме того, очевидно, что y=y", z=z". Добавим к этим соотношениям принятое в классической механике предположение, что время в обеих системах течёт одинаковым образом, то есть t=t". Получим совокупность четырёх уравнений: x=x"+v 0 t;y=y";z=z";t=t", названных преобразованиями Галилея.Механический принцип относительности. Положение о том, что все механические явления в различных инерциальных системах отсчёта протекают одинаковым образом, вследствие чего никакими механическими опытами невозможно установить, покоится ли система или движется равномерно и прямолинейно носит названия принцип относительности Галилея.Нарушение классического закона сложения скоростей. Исходя из общего принципа относительности (никаким физическим опытом нельзя отличить одну инерциальною систему от другой), сформулированным Альбертом Эйнштейном, Лоуренс изменил преобразования Галилиея и получил: x"=(x-vt)/(1-v 2 /c 2); y"=y; z"=z; t"=(t-vx/c 2)/(1-v 2 /c 2). Эти преобразования называются преобразованиями Лоуренса.

Виды деформаций

Деформацией называют изменение формы, размеров или объема тела. Деформация может быть вызвана действием на тело приложенных к нему внешних сил. Деформации, полностью исчезающие после прекращения действия на тело внешних сил, называют упругими , а деформации, сохраняющиеся и после того, как внешние силы перестали действовать на тело, - пластическими . Различают деформации растяжения или сжатия (одностороннего или всестороннего), изгиба , кручения и сдвига .

Силы упругости

При деформациях твердого тела его частицы (атомы, молекулы, ионы), находящиеся в узлах кристаллической решетки, смещаются из своих положений равновесия. Этому смещению противодействуют силы взаимодействия между частицами твердого тела, удерживающие эти частицы на определенном расстоянии друг от друга. Поэтому при любом виде упругой деформации в теле возникают внутренние силы, препятствующие его деформации.

Силы, возникающие в теле при его упругой деформации и направленные против направления смещения частиц тела, вызываемого деформацией, называют силами упругости. Силы упругости действуют в любом сечении деформированного тела, а также в месте его контакта с телом, вызывающим деформации. В случае одностороннего растяжения или сжатия сила упругости направлена вдоль прямой, по которой действует внешняя сила, вызывающая деформацию тела, противоположно направлению этой силы и перпендикулярно поверхности тела. Природа упругих сил электрическая.

Мы рассмотрим случай возникновения сил упругости при одностороннем растяжении и сжатии твердого тела.

Закон Гука

Связь между силой упругости и упругой деформацией тела (при малых деформациях) была экспериментально установлена современником Ньютона английским физиком Гуком. Математическое выражение закона Гука для деформации одностороннего растяжения (сжатия) имеет вид:

где f - сила упругости; х - удлинение (деформация) тела; k - коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров и материала тела, называемый жесткостью. Единица жесткости в СИ - ньютон на метр (Н/м).

Закон Гука для одностороннего растяжения (сжатия) формулируют так: сила упругости, возникающая при деформации тела, пропорциональна удлинению этого тела.

Рассмотрим опыт, иллюстрирующий закон Гука. Пусть ось симметрии цилиндрической пружины совпадает с прямой Ах (рис. 20, а). Один конец пружины закреплен в опоре в точке А, а второй свободен и к нему прикреплено тело М. Когда пружина не деформирована, ее свободный конец находится в точке С. Эту точку примет за начало отсчета координаты х, определяющей положение свободного конца пружины.

Растянем пружину так, чтобы ее свободный конец находился в точке D, координата которой х > 0: В этой точке пружина действует на тело М упругой силой

Сожмем теперь пружину так, чтобы ее свободный конец находился в точке В, координата которой х

Из рисунка видно, что проекция силы упругости пружины на ось Ах всегда имеет знак, противоположный знаку координаты х, так как сила упругости направлена всегда к положению равновесия С. На рис. 20, б изображен график закона Гука. На оси абсцисс откладывают значения удлинения х пружины, а на оси ординат - значения силы упругости. Зависимость fх от х линейная, поэтому график представляет собой прямую, проходящую через начало координат.

Рассмотрим еще один опыт .

Пусть один конец тонкой стальной проволоки закреплен на кронштейне, а к другому концу подвешен груз, вес которого является внешней растягивающей силой F, действующей на проволоку перпендикулярно ее поперечному сечению (рис. 21).

Действие этой силы на проволоку зависит не только от модуля силы F, но и от площади поперечного сечения проволоки S.

Под действием приложенной к ней внешней силы проволока деформируется, растягивается. При не слишком большом растяжении эта деформация является упругой. В упруго деформированной проволоке возникает сила упругости f уп. Согласно третьему закону Ньютона, сила упругости равна по модулю и противоположна по направлению внешней силе, действующей на тело, т. е.

f уп = -F (2.10)

Состояние упруго деформированного тела характеризуют величиной s, называемой нормальным механическим напряжением (или, для краткости, просто нормальным напряжением ). Нормальное напряжение s равно отношению модуля силы упругости к площади поперечного сечения тела:

s = f уп /S (2.11)

Пусть первоначальная длина нерастянутой проволоки составляла L 0 . После приложения силы F проволока растянулась и ее длина стала равной L. Величину DL = L - L 0 называют абсолютным удлинением проволоки . Величину e = DL/L 0 (2.12) называют относительным удлинением тела . Для деформации растяжения e>0, для деформации сжатия e < 0.

Наблюдения показывают, что при небольших деформациях нормальное напряжение s пропорционально относительному удлинению e:

s = E|e|. (2.13)

Формула (2.13) является одним из видов записи закона Гука для одностороннего растяжения (сжатия). В этой формуле относительное удлинение взято по модулю, так как оно может быть и положительным и отрицательным. Коэффициент пропорциональности Е в законе Гука называется модулем продольной упругости (модулем Юнга).

Установим физический смысл модуля Юнга . Как видно из формулы (2.12), e = 1 и L = 2L 0 при DL = L 0 . Из формулы (2.13) следует, что в этом случае s = Е. Следовательно, модуль Юнга численно равен такому нормальному напряжению, которое должно было бы возникнуть в теле при увеличении его длины в 2 раза. (если бы для такой большой деформации выполнялся закон Гука). Из формулы (2.13) видно также, что в СИ модуль Юнга выражают в паскалях (1 Па = 1 Н/м 2).

Министерство образования АР Крым

Таврический Национальный Университет им. Вернадского

Исследование физического закона

ЗАКОН ГУКА

Выполнил: студент 1 курса

физического факультета гр. Ф-111

Потапов Евгений

Симферополь-2010

План:

Связь между какими явлениями или величинами выражает закон.

Формулировка закона

Математическое выражение закона.

Каким образом был открыт закон: на основе опытных данных или теоретически.

Опытные факты на основе которого был сформулирован закон.

Опыты, подтверждающие справедливость закона, сформулированного на основе теории.

Примеры использования закона и учета действия закона на практике.

Литература.

Связь между какими явлениями или величинами выражает закон:

Закон Гука связывает такие явления, как напряжение и деформацию твердого тела, модуль силы упругости и удлинение. Модуль силы упругости, возникающей при деформации тела, пропорционален его удлинению. Удлинением называется характеристика деформативности материала, оцениваемая по увеличению длины образца из этого материала при растяжении. Си́ла упру́гости - сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации. Напряжение - это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий. Деформа́ция - изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением друг относительно друга. Эти понятия связаны так называемым коэффициентом жесткости. Он зависит от упругих свойств материала и размеров тела.

Формулировка закона:

Зако́н Гу́ка - уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды.

Формулировка закона - сила упругости прямо пропорциональна деформации.

Математическое выражение закона:

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

Здесь F сила натяжения стержня, Δl - его удлинение(сжатие), а k называется коэффициентом упругости (или жёсткостью). Минус в уравнении указывает на то, что сила натяжения всегда направлена в сторону, противоположную деформации.

Если ввести относительное удлинение

и нормальное напряжение в поперечном сечении

то закон Гука запишется так

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов вещества.

В общем случае напряжения и деформации являются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга C ijkl и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора C ijkl , а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

где σ ij - тензор напряжений, - тензор деформаций. Для изотропного материала тензор C ijkl содержит только два независимых коэффициента.

Каким образом был открыт закон: на основе опытных данных или теоретически:

Закон был открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) на основе наблюдений и экспериментов. Открытие, как утверждал Гук в своём сочинении «De potentia restitutiva», опубликованном в 1678, сделано им за 18 лет до этого времени, а в 1676 было помещено в другой его книге под видом анаграммы «ceiiinosssttuv», означающей «Ut tensio sic vis». По объяснению автора, вышесказанный закон пропорциональности применяется не только к металлам, но и к дереву, камням, рогу, костям, стеклу, шёлку, волосу и проч.

Опытные факты на основе которых был сформулирован закон:

История об этом умалчивает..

Опыты, подтверждающие справедливость закона, сформулированного на основе теории:

Закон сформулирован на основе опытных данных. Действительно, при растягивании тела (проволоки) с определенным коэффициентом жесткости k на расстояние Δl, то их произведение будет равно по модулю силе, растягивающей тело (проволоку). Такое соотношение будет выполняться, однако, не для всех деформаций, а для небольших. При больших деформациях закон Гука перестает действовать, тело разрушается.

Примеры использования закона и учета действия закона на практике:

Как следует из закона Гука, по удлинению пружины можно судить о силе, действующей на нее. Этот факт используется для измерения сил с помощью динамометра – пружины с линейной шкалой, проградуированной на разные значения сил.

Литература.

1. Интернет-ресурсы: - сайт Википедия (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83%D0%BA%D0%B0).

2. учебник по физике Перышкин А.В. 9 класс

3. учебник по физике В.А. Касьянов 10 класс

4. лекции по механике Рябушкин Д.С.